沈澄

(浙江工商职业技术学院，浙江宁波315012)



n维空间上一类对称区域的n重积分性质及其应用研究

沈澄

(浙江工商职业技术学院，浙江宁波315012)

n重积分与定积分的概念在数量关系上的一致性使它们具有诸多类似的性质，单变量奇偶函数在对称区间上定积分的运算性质，能够推广到n维空间一类对称区域的n重积分。通过讨论空间对称点的坐标轮换，以及对称点从对称区域Ω1到Ω2映射变换的Jacobian行列式，性质推广得以严格证明。结论作为基础理论具有实际应用价值：简化n维球体的面积公式推导；巧用对称性提高工程计算效率；帮助人们更好地理解和讨论n维空间的数学问题，构建良好的数学思想方法与数学解题行为。

n维空间；n重积分；有界闭域；对称

引言

单变量奇偶函数的定积分运算是常见的定积分应用，它在对称区间上的运算性质能够推广到n维空间上一类对称区域的n重积分，文献[1-2]给出了该定积分性质对单变量函数成立的证明与应用，文献[3]的研究将其推广到二维、三维空间的积分运算，文献[3-9]针对二元、三元奇偶函数基于不同类型对称区域上重积分进行了具体的运算与讨论，文献[4]定义了n元奇偶函数，文献[4-6]指出该性质对n元函数也成立，但没给出严格的数学证明。文献[10]指出，若n元函数f (x1, x2,…,xn)在下列不等式确定的n维空间有界闭域内连续，

其中，a、b为常数，hi(x1,x2,…,xi-1)与φi(x1,x2,…,xi-1)均为连续函数(i=2,3,…,n)，则对应的n重积分计算公式[10]：

但未涉及空间对称域重积分性质的讨论。因此，本文探究证明这个性质推广的正确性并赋予应用。……