两道开放性试题的解析与思考*

2016-09-09北京市海淀区教师进修学校数学教研室刘忠新

中学数学杂志 2016年16期

☉北京市海淀区教师进修学校数学教研室　刘忠新

两道开放性试题的解析与思考*

☉北京市海淀区教师进修学校数学教研室刘忠新

近几年在全国各地的中考试卷中，出现了较多符合学生年龄特点和认知规律的开放性试题.这类题设计新颖、变化多端，既丰富了数学题型，又启发了学生的思维，使人备感清新.开放性试题具有条件或结论的不确定性、解决策略的多样性、答案的不唯一性等特征，需要学生利用所学知识，通过观察、猜想、比较、分析、综合、抽象、概括等数学思维活动，引发思考，激起思维的碰撞.这类试题有助于鼓励学生从多角度、多侧面、多层次思考问题，激发他们的创新欲望.本文将对2016年北京市海淀区初三模拟考试的两道开放性试题进行分析，并谈谈由此引发的几点思考.

一、试题呈现

一模第14题：在下列函数：①y=2x+1；②y=x2+2x；③y=；④y=-3x中，与众不同的一个是_____（填序号），你的理由是________.

二模第14题：请写出一个图像过（2，3）和（3，2）两点的函数的解析式______.

二、试题解析

（一）一模第14题解析

本题满分3分，全区15547名考生的平均分为2.62，难度系数为0.87，学生的答题情况如表1所示.

表1

本题重点考查一次函数、反比例函数、二次函数这三个学生熟悉的函数的图像与性质.题目的第一个空填①、②、③、④中的任何一个都可以，无所谓对错，第二个空写理由是整道题的核心，也是重点和难点，所写理由必须支撑前面的结论才能得到相应的分数.下面从“函数形式”和“函数性质”两个角度进行分析.

（1）从函数解析式的“形式”上寻找“与众不同”.

题目中的四个函数，都是以解析式的形式给出的，因此可以先从解析式入手，比如：只有①的解析式中含有常数项；只有②的解析式中含有二次项；只有③的解析式中自变量x在分母的位置；只有④的解析式中存在系数为负数的项……

图1

（2）从函数性质的角度寻找“与众不同”.

借助图像研究函数性质是我们常用的方法.如图1，在同一坐标系中画出四个函数的图像，从图像上可以更直观地找到具有与众不同的性质的那一个函数.不妨从以下几个角度进行分析.

从定义域看，只有③的自变量取值范围不是全体实数.

从值域看，只有②的函数值y不小于-1，即值域是y≥-1；只有③的函数值y不能为0，即y≠0.

从单调性看，只有①在全体实数范围内y随x的增大而增大；只有②既有y随x的增大而增大的区间，又有y随x的增大而减小的区间；只有④在全体实数范围内y随x的增大而减小.

从图像的对称性看，只有②的图像是轴对称图形，而非中心对称图形；只有②的图像是轴对称图形，且只有一条对称轴；只有③的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，且只有两条对称轴；只有③的图像是中心对称图形，且其对称中心不在其图像上.

从图像的连续性看，只有③的图像在x=0处断开.

当然还有很多，比如，只有③的图像与坐标轴无交点，只有③的图像不经过点（1，3），只有③有两条渐近线，或者无限接近于x轴或y轴，等等.

（二）二模第14题解析

本题满分3分，平均分为2.77，难度系数为0.92，学生的答题情况如表2所示.

表2

本题重点考查用待定系数法求函数的解析式.求图像过（2，3）和（3，2）两点的函数的解析式可以从以下三个方面考虑.

第一，图像过点（2，3）和（3，2）的反比例函数唯一确定，解析式为；图像过点（2，3）和（3，2）的一次函数唯一确定，解析式为y=-x+5.

第二，不难发现，图像过点（2，3）和（3，2）的二次函数有无数个.那么怎么写出满足上面条件的二次函数的解析式呢？

方法一：点特殊化.

比如，把点（2，3）或（3，2）作为抛物线的顶点.若顶点为（2，3），则解析式为y=-（x-2）2+3；若顶点为（3，2），则解析式为y=（x-3）2+2，

方法二：待定系数特殊化.

求满足题目条件的二次函数解析式，方法一和方法二采用的是特殊化的方法，这样可以大大简化计算，符合课程改革“多思少算”的理念.当然，如果找到图像过点（2，3）和（3，2）的二次函数的一般表达式，那么就找到了从根本上解决问题的方法.不妨将点（2，3）和（3，2）代入y=ax2+bx+c中解方程组，用含a的代数式表示b和c可以得到y=ax2-（5a+1）x+6a+5，用任意一个不为0的数替代a，即可得到一个图像过点（2，3）和（3，2）的二次函数的解析式.

第三，图像过点（2，3）和（3，2）的函数，可以为除一次函数、反比例函数、二次函数之外的其他函数.

三、演变探究

由于模拟试题受题量、难度等诸多因素的限制，因此题目承载的很多东西不可能都在试卷中体现出来，如何挖掘试题所蕴含的丰富内容，使试题的价值最大化呢？

（一）一模第14题

一模第14题重点考查初中阶段学生熟知的一次函数、反比例函数、二次函数及它们的图像与性质，它以诙谐的“与众不同”呈现，题面简洁，问题清楚.实际上，我们可以根据学生学习的不同阶段和不同的考查目标，尝试改编一模第14题.

比如：指出四个数、四个式子、四个方程或四个图形中与众不同的一个；找出四个数、四个式子、四个方程或四个图形所具有的共同特征……

（二）二模第14题

二模第14题重点考查学生用待定系数法求函数的解析式，与一模第14题具有很好的互补性.我们可以尝试在二模第14题的基础上进行改编，使其考查内容更全面、问题探究更深入、题面更具开放性.

1.增加对函数性质的考查

写出一个图像过（2，3）和（3，2）两点的函数的解析式，并指出这个函数在2≤x≤3的范围内所具有的一条性质.

（1）函数的增减性.

可以是y随x的增大而增大吗？y随x的增大而减小可以吗？可以是先y随x的增大而增大，再y随x的增大而减小吗？先y随x的增大而减小，再y随x的增大而增大可以吗？

（2）函数的最值.

一定有最值吗？如果有最值，最大值一定是3吗？最小值一定是2吗？

（3）函数图像的对称性.

如果函数是轴对称图形，且其对称轴平行于y轴，那么其对称轴可能在哪儿？不可能在哪儿？

2.去掉对“函数表示法”的限制，使问题更开放

表示一个图像过（2，3）和（3，2）两点的函数，并指出这个函数在2≤x≤3的范围内所具有的一条性质.

注意这里用的是“表示”，可以求解析式，还可以直接通过图像给出函数关系，这样更有利于由图像直观地理解性质.例如：

图2

图3

图4

图2中的函数先y随x的增大而减小，后y随x的增大而增大，最大值为3，最小值小于2，不是轴对称图形.

图3中的函数先y随x的增大而增大，后y随x的增大而减小，最大值大于3，最小值为2，不是轴对称图形.

图4中的函数y随x的增大而减小，最大值为3，最小值为2，是轴对称图形，但对称轴不与y轴平行.

3.改编为选择题的压轴题，重点考查函数增减性

题目：记自变量x的取值范围是2≤x≤3，且图像过A（2，3）和B（3，2）两点的函数为yAB，下面对yAB的描述中一定正确的是（）.

A.函数值y一定随自变量x的增大而减小

B.函数值y一定随自变量x的增大而增大

C.一定存在自变量x的某个取值范围，在这个范围内函数值y随自变量x的增大而增大

D.一定存在自变量x的某个取值范围，在这个范围内函数值y随自变量x的增大而减小

还可以仿照此题进行改编，考查函数的其他性质.

四、几点思考

（一）思考问题的入口宽，解决问题的思路发散

一模第14题可以从函数的概念入手，也可以从图像、性质等方面思考；可以“近盯”，也可以“远眺”.“近盯”即从“四个选项中的任意一个”出发，“持因探果”，顺流而下，寻找它与其他三个的差异.“远眺”即从“研究函数的几个方面”出发，比如从函数的定义域、值域出发，“持果索因”，逆流而上.二模第14题可以立足于学生熟知的一次函数、反比例函数和二次函数去寻找解决问题的思路和方法，也可以依据函数解析式、函数图像、待定系数法等相关知识和方法研究“图像过（2，3）和（3，2）两点”的陌生的新函数.

（二）回答问题的方式宽，呈现答案方式多样

一模第14题，要求考生在写出相应结论的同时，写出自己的理由，对自己写出的结论要有一个合理的解释，只要言之有据、自圆其说即可；二模第14题可以在条件允许的情况下（比如平时小测、教学中）不限定“函数的表示方式”，无论是解析式还是图像，只要表达清楚均可.两道开放性试题的题干都没有明确的指向，因此答案可谓丰富多彩，很好地考查了学生的发散思维.

（三）评价方式的设置宽，学生思维过程外显

学生个体的可塑性和差异性是客观存在的事实，也是教育评价工作应当遵循的逻辑起点.鼓励学生的发散思维，保护、尊重学生的思维，一直是学生评价探索和发展的方向.而考试作为评价的主要工具和手段，需要进一步研究多样化的考试评价方式，这有利于学生思维的外显化.