●朱伟义

(浙江师范大学　浙江金华　321004)

●曹凤山

(浙江师范大学特级教师流动工作站　浙江金华　321004)



大道至简悟者天成*

——2016年浙江省数学高考试题简析及有关高考复习的思考

●朱伟义

(浙江师范大学浙江金华321004)

●曹凤山

(浙江师范大学特级教师流动工作站浙江金华321004)

2016年浙江省数学高考试题稳定中创新，简约而不简单，全面考查基础知识、基本技能，深入考查数学本质，体现数学核心素养考查的特色.数学高考复习只有扎根基础，引导学生理解本质，提高思维能力，方能以不变应万变，完胜高考，成就教与学.

数学本质;高考复习;解题

从拍案叫绝到剑走偏锋，对浙江省数学高考试题冰火两重天的评价已司空见惯.从2004年浙江省自主命题以来，在教与考不断地博弈、碰撞、共进中，考生、学校、社会各方面的宽容度不断提升，无论褒贬，大家都是一个目标——更好地教、更好地考，培养选拔更多、更好的学生.

认真做一遍而不是看一眼高考试题，沉下心来从昨天的现实与明天的需求分析、反思，会有更多真实的认识.客观地说，2016年浙江省数学高考试题传承自主命题以来简约、大气的特点，微调布局，不断寻求新的知识交汇点，在全面考查基础知识、基本技能的基础上，减少计算量，深度考查对数学思想方法的理解，体现对数学核心素养的要求，在浙江省高考模式即将发生大变革的关键点，交出了一份承上启下的优秀试卷.

1　试题简析

1.1宏观稳定

立足基础，全面考——重点突出.2016年浙江省数学高考文、理科试题均保持了对知识点较大的覆盖面，对支撑中学数学的核心内容进行了深入考查，如理科的解析几何、立体几何、三角函数、函数不等式以及数列等都占有较大比重；在知识的交汇点上下功夫，如理科的不等式部分，分别出现在第1，3,4,7,8,15,18题以及第19,20题等;结合解不等式、线性规划、命题、大小比较、绝对值、向量运算及几何意义、函数与方程、数列等有关知识.

分步设问、分层把关.理科试卷按照选择题、填空题、解答题拾阶而上，每类试题中又分档次：选择题第1～5题为容易题，第6，7题为中档题，第8题最难；填空题第9～13题中规中矩，第14题稍有加重，第15题深入概念、性质考查，选拔的意图明显；解答题除第18题的第2)小题以及第20题，其他试题都注意了难度的控制，第20题情理之中的难度预料之外的形式，让不少考生望而却步.

文、理试卷继续保持较大差异.选择题和填空题各有2道相同，解答题中文科数列题是理科填空题第13题的延展，立体几何选取载体一致，第2)小题要求不同，其他解答题则分道扬镳.文科试卷难度相比2015年有所加大，也使部分文科考生乱了阵脚.

1.2内涵深厚

突出考思维，注重数学本质的理解.在近几年“多考一点想、少考一点算”[1]的基础上，2016年又进一步突出“想”，尽量不算、易算.理科考生会发现有些题目很难动笔“硬算”，选择题除第7题尚有列式计算的样式，其他题目基本没有运算量，填空题也有类似情形.同时，数字的设计、计算已极尽简单，突出数学概念、原理、思维能力的考查，以最简约的形式考本质，注重对数学本质的理解.最后一道数列题，命题者惜墨如金，以极其简约的形式给出题干，深度考查思维能力，对选拔优秀考生发挥了重要作用.大家都知道数学是玩概念的，数学是思维的体操，高考题在关键的位置、显眼的试题上体现了这一点.如理科第15题.

(2016年浙江省数学高考理科试题第15题)

图1

分析如图1，

|a·e|+|b·e|=

|OA1|+|A1B1|=

|OB1|≤|OB|，

直角边总不大于斜边，共线时取等号，从而

(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)=10,

(a+b)2取到最大值6时，(a-b)2取到最小值4，这时

当且仅当单位向量e与向量a+b共线时等号成立.以上是文字的详细叙述，实际解题过程中，一个图，口算，结果很快可以得出.考后一些教师也给出了不少解法，或者讲究技巧或者计算量过大，没有从最本质的角度分析求解.

实际上，向量部分最核心的是向量的加、减运算及其几何意义，也就是三角形法则、平行四边形法则，以及数量积的几何意义，抓住这些核心，问题迎刃而解.概念、原理的理解不是文字的背诵，是数字严密的刻画，是具体生动的形象，是具体情境下的应用，要消化.

凸显数学思想方法的考查，突出能力立意.寓思想方法的考查于基础知识的考查之中，重要的思想方法在不同题型中以不同的方式重点考查，“多考一点想”的重要体现就是凸显数学思想方法的考查.解答题每道题都会涉及数学思想方法，如理科第16题考查方程思想，第18题考查数形结合思想、分类讨论思想以及转化与化归思想等等.数学思想方法的运用层次是数学核心素养的重要体现，考查的核心思想方法如函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想等.

()

(2016年浙江省数学高考理科试题第3题)

图2

分析首先根据数形结合思想，画出可行域(如图2).其次，求|AB|的长，方法多样：①求出投影求长度；②不求投影求长度；③不求投影看长度；④直接画图三角板量出等等.本题实际上并不需要确定点的投影，由2条直线平行转化为求|CD|的长，如果图形基本准确，点C，D的坐标均为整数，结果一望而解.虽然没有难度，解答起来也颇有味道，投入时间的多少、准确度的高低充分体现了考生的思想方法利用意识与能力.

1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围.

2)①求F(x)的最小值m(a);

②求F(x)在[0,6]上的最大值M(a).

(2016年浙江省数学高考理科试题第19题)

分析第1)小题中，g(x)=x2-2ax+4a-2过定点(2，2)，该定点又恰好在折线f(x)=2|x-1|右支上，根据a≥3以及函数

F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2}

的定义画出草图(如图3)，只要解折线右支y=2(x-1)与二次函数的右交点，即

2(x-1)=x2-2ax+4a-2,

亦即

x2-2(a+1)x+4a=0，

其中1个根已知，求解另1个根可以直接写出x=2a，故所求x的取值范围为[2,2a].

图3 图4

第2)小题中，①由于二次函数的对称轴x=a≥3，函数的最小值取决于

min{0,g(a)}=min{0,-a2+4a-2}，

下面就是简单地比较大小.

②求F(x)在[0,6]上的最大值M(a)，根据图4可以看出，最大值的可能位置有3个，只要确定

max{f(0),f(2),f(6)}=max{2,34-8a}，

问题也就很简单.此题一题三问，含有参数，看起来挺复杂，实际上，只要思想清晰，运用数形结合、分类讨论思想，不断地转化问题，无论是解方程或者是不等式，计算量都很少.

方法灵活多样，重在通性通法.从第1题开始，每道题的解法就呈多样化.如第1题，直接求解，端点代入验证，画图；第2题根据性质、判定定理或者构造模型；第3题前面已有提及，解题层次相当丰富；第5题定性与定量相结合，可以利用公式一般性的推演，可以通过特殊值检验，……，没有套路与题型，根据条件灵活选择.

注重继续学习潜能的考查.高考是选拔性考试，要选拔出具有一定学习潜能的考生继续深造，数学语言把世界化无形为有形，正是数学语言的刻画，帮助我们认识世界、把握世界，数学语言阅读理解能力是继续学习潜能的一个重要方面[2].纵观整卷，数学气息浓厚，符号语言突出，文字语言与图形语言和谐搭配，3种语言的理解、转化、互译体现了考生之间继续学习潜能的差异.

2　有关高考复习的思考

2.1大环境下看2017年的高考复习

2017年是浙江省新一轮高考改革的第1年，既有文、理合卷的因素，相比2016年，又有考查知识点增加的现实，加之前期选考、学考，相比往年数学的课时数都有减少，考查的整体难度相比以前应该有所降低.

基于以上分析，对绝大多数学生而言，抓基础仍是复习的主旋律.不过高考毕竟是选拔性考试，不能指望高考试题学考化，不同层次的生源还是要考虑不同的目标与相应的难度.

2.2从数学本身看高考复习

从课改的趋势看，在核心素养已经明确写入《课程标准》的前提下，浙江省数学高考命题的方向是值得肯定的.现在的高考试题达到了让题海战术失效，但还没有把教学引导到跳出题海.面对高考之后的一片喧嚣，数学教学如何适应高考，需要有客观的判断、理性的思考和明智扎实的行动.

目前，高中数学课堂教学,特别是高三复习教学中出现的一些问题值得重视和反思.

讲题不讲数学.一些教师之所以对高考试题不欣赏，就在于“讲的都不考，考的都没讲”，让自己的学生白学3年.实际上，高考是考数学，考数学理解，考数学核心素养，考没有见过、没有练过的题是必须的，是选拔性考试的必然，是公平、公正的必然.不识庐山真面目，只缘身在此山中.复习时间久了有些课堂忘了复习的初心，学生做午练题、每日必做题、周练题、月考题、模拟题、冲刺题、仿真题，教师就是讲题，讲题，还是讲题.讲题是必须的，问题出在讲题就是题型、套路、技巧，没有来龙去脉，学生不知道做题为什么，依据是什么，一旦不符合题型就慌了手脚.到最后，基础没有掌握好，题型又对不上号，3年白学也就顺理成章.基于核心素养的考查就是要考查“公式、定理都遗忘之后还保留下来的东西”，题型、设问、考查方式会更多地从数学思想方法着眼，没有对数学的真正理解，题海战术会吃更大的亏.

讲题不讲怎样解题.一些教师真实的解题能力在报刊和网络上得以表现，其中有很多试题的精彩解法.但是，也看到有些教师对某些试题的求解实在不敢恭维，或者脱离学生实际一味讲究技巧追求“高大上”，不从基础出发而是利用二阶、三阶结论等“独门绝技”，讲究“好剑”不讲“功力”，或者繁难偏怪，不从本质出发，思路不自然.反映在解题教学中，解题只讲“术”没有“道”，或者只有教师“布道”而没有让学生“悟道”.大家都知道，传授“术”易，引导悟“道”难.不过，高考试题万变不离其宗，万变是术，宗是道，道负术正，则事为劳心，道负术负，则一事无成.教师解题不从引导“悟道”着眼，学生最多“至于术”，但往往是“道不通、术不精”，面对高考“重道轻术”的考查，考生自然失去功力[3].

讲速度不讲质量.高一、高二新课开快车，一模、二模赶进度，高三就是一场考试连接一场考试的考试马拉松，追求速度的结果势必是基础一带而过、解题一闪而过，没有学生“悟”的时间，结果教师讲十遍学生还是不会.杜威说：“如果学生不能筹划自己解决问题的方法，不会自己寻找出路，他就学不到什么，即使他能背出一些正确的答案，百分之百正确，他还是学不到什么.”慢点，再慢点，即使有外在的压力，课堂也要自己的地盘自己做主，可以少讲点，少做点，讲深、悟透，只要抓住核心，让学生领悟思想方法，结果就不会很差.

跟风没有定力.首先是跟题型风，高考试题是专家们的杰作，在各个方面都堪称典范，学生适当的演练、领悟很有必要.对高考真题“跟踪模仿”，一个知识点被深挖，题目千篇一律，越出越难越搞越怪，一直在模仿，从不会超越，形似神已去，反复操练，直到一类题被玩坏，自己累学生也苦，最后一无所得.其次是跟模拟题的风，模拟题是一些有经验教师智慧的结晶，贴近一线实际，对数学高考有深入的理解与把握，当然，限于人力、物力以及时间等等因素，也有一些模似题只能追求高考题的形似，不是体现在概念、原理深刻理解基础上的考查，没有新的考查视角和合适的背景，甚至出现错题、超纲试题，给学生带来不必要的负担；还有跟风资料，或者直接被资料“绑架”，资料市场鱼目混珠、参差不齐，但是，把资料上题目完成作为复习目标的教学恐怕不在少数，学生被各种资料弄得晕头转向，数学淹没在资料的汪洋大海之中，搞不清楚数学是什么，要做什么、怎么做.跟风来源于不自信，来源于对高考认识的偏颇以及对数学理解、数学评价认识的偏颇.实际上，“大道至简”，一百多个化学符号归结了物质世界，三原色画出了大自然的奇妙美景，数学有难度，但也没有那么复杂，在基于核心素养考查下的高考，让学生掌握最本质的东西才是王道.数学教师必须会解题，还要会引导学生领悟，数学教师还要看书，不仅看数学课本、复习资料，还要尽可能涉猎相关的数学史、数学教育、心理学等方面的书，提升自己的修养，就会有自己的定力，不会因为风吹草动而影响自己的课堂，不会再盲目跟风.对高考不能“领跑”，也要追求“并行”，与教材并行，与高考命题专家并行.

回归原点，高考复习是中学教育的一个阶段，也是回归教育的根本.爱因斯坦说：“不是所有有价值的都能被计算，不是所有能计算的都有价值.”要在追求分数与培养全人之间尽力追求一种平衡，让学生学习真正的数学，培养学生扎实的核心素养，为学生的终身发展与人生幸福奠基.

[1]曹凤山.数学教学把根留住——2015年浙江省数学高考试题解读[J].中学教研(数学)，2015(8)：1-4.

[2]教育部考试中心.高考数学测量理论与实践[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]波利亚.数学发现[M].台北：九章出版社，2000.

*收文日期：2016-06-09；2016-07-09

朱伟义(1964-),男，浙江诸暨人，教授.研究方向：数学教育与数论.

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1003-6407(2016)08-36-04