●李学军

(平湖中学　浙江平湖　314200)



观千剑而后识器*

——记一道不等式题目的品题历程

●李学军

(平湖中学浙江平湖314200)

数学教师要学会研究解题，更要学会从学生的角度去研究解题.数学的解题可以通过审题、观题、品题、赏题达到一定的境界.文章结合一个引题和一个变式题，通过多角度的剖析，去感知、体验解题过程中的纠结和成功之后的快乐，从而实现真正意义的数学学习.

审题;观题;品题;赏题

品茶讲究审茶、观茶、品茶这3道程序.笔者认为做数学题也应该讲究程序，即审题、观题、品题，除此之外还应该增加赏题的环节.在做题过程中，大多数学生能够达到审题的层次，小部分学生能够达到观题的层次，很少有学生能够达到品题和赏题的层次.数学家克莱因说过：教师掌握的知识要比他所教的知识多得多，才能引导学生绕过悬崖、渡过险滩.因此，作为数学教师，一定要加强试题的钻研，努力达到“观”后有“品”，“品”后有“赏”.

下面笔者以一道不等式试题为例，把笔者对该题的品题历程呈现如下：

1　审题：小荷才露尖尖角

对于二元不等式最值的处理，常规的方法是构造不等式和构造函数.构造不等式的关键是：构造形式、配凑系数，这样的操作流程对于大部分学生来说是能够理解的，通过一定的训练，学生可以熟练准确地解决这样的常规题目.关于构造函数，首先减元，接着寻找主元，然后利用函数的思想求解最值[1].因此，对于大部分学生来说，非常自然地产生了下列的2种解法：

解法1不等式视角

因为a≥0,b≥0,所以

解法2函数视角

解后反思将不等式视角和函数视角这2种方法进行对比，结合结论所求代数式的最大值，学生认为该题是考查有关不等式的知识，因此会首先想到用不等式知识来解决[2].笔者认为：以上2种方法在解决问题的实效上后者更优于前者.

2　观题：横看成岭侧成峰

利用解决不等式的常规方法处理好这个问题之后，重新观察、审视这个题目:已知条件是关于2个变量a,b的二元一次方程,结论要研究的代数式是关于a,b的二次不等式.我们要把代数式想办法转化为等式的形式.因此，通过令b(a+1)=t，可以产生以下3种解法.

解法3方程视角

故

图1

解法4规划的视角

a2-a-2+2t=0,

解法5“1”的视角

解后反思代数式和等式相比，在解决问题时等式更有利于寻找到解决问题的思路及解决问题的方法(这2个等式可以从方程的角度来看，也可以从函数的角度来看).

3　品题：梅花香自苦寒来

文首的题目研究到此，对于学生来说应该是比较开心和快乐的，但是细品之后，将该题目进行变式，以上解法是否依然高效、实用呢?笔者进行了尝试，成果展示如下.

解法1函数视角

令ab+b=t(其中t≥0)，则

从而

于是

解法2三角函数视角

t=ab+b=sinθcosθ+cosθ，

求导得t′=cos2θ-sin2θ-sinθ=

-2sin2θ-sinθ+1=

-(2sinθ-1)(sinθ+1).

令t′>0，则2sinθ-1<0，即

令t′<0，则2sinθ-1>0，即

解法3平方的视角

令T(a)=[b(a+1)]2=(1-a2)(a+1)2.

角度1用函数处理

角度2用不等式处理

T(a)=[b(a+1)]2=(1-a2)(a+1)2=

解后反思解法1和解法2构造后的函数不是基本初等函数，因此函数的单调性很难判定，必须要借助导数工具才可以判别函数的单调性.解法3构造不等式时发现：很难构造出定值，但是在通过平方变形之后，可以用基本不等式解决.

4　赏题：吹尽狂沙始到金

对于题干是二次型、结论也是二次型的题目，函数及不等式的构造难度明显较已知条件中是一次型的要大很多，是否还有其他方法呢？其他方法的效果和难度又如何呢？下面是变式1的其他3种解法.

图2

解法4规划的视角

令t=ab+b,则

当2条曲线相切时，t取到最小值.设2条曲线的切点为M(a0,b0),对于⊙O:a2+b2=1来说，过点M(a0,b0)的切线方程为

a0a+b0b-1=0,

即

ta+(a0+1)2b-2ta0-t=0,

因此2条切线为同一条直线,从而

故

解法5“凑”的视角

通过上述分析，可以进行如下构造

解法6构造的视角

由题意构造

从而

于是

因此

从而

即

变式3已知a,b,c>0，a2+b2+c2=1，求3ab+3bc+2c2的最大值.

解后反思解法4利用规划的视角也就是利用数形结合的数学思想，首先要构建出图形，然后通过图形的观察、分析以及必要的计算得出想要的结论，解决问题的关键是把二次问题转化为一次问题进行求解[3].直接构造不等式求解的难度是相当大的，也是十分不容易想到的，但是仔细品味，似乎又在情理之中，结论是二次与一次的和的形式，要把其中一个二次分为2个部分:一部分与二次结合放缩出二次，另一部分二次与常数结合放缩出一次的形式，最后与结论进行对比.

美国著名作家海明威曾经谈到过“冰山理论”，他认为：人们看到的小说只是冰露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得让读者自己去体会揣摩.我们的数学教学又何尝不是这样的呢？数学教育家波利亚也指出：中学数学教学首要的任务就是要加强解题的训练.在数学解题过程中，思想方法是解题之魂，有什么样的思想方法就会产生什么样的解法，见识广博了很自然就会产生“神奇”的想法[4]，正所谓：观千剑而后识器！通过教师的正确引领以及学生的顽强训练，笔者相信：总有一天，我们的学生在数学学习的舞台上能够自信而充满激情地奔跑！

[1]毛良忠.一道函数问题的多角度探究[J].中学教研(数学)，2015(10):13-15.

[2]吴冠男，沈新权.微过程深反思——记一次数学微课比赛的历程[J].中学教研(数学)，2015(9):34-36.

[3]李晶，李德安.数学习题课上教师的无为和学生的有为[J].中学教研(数学)，2016(1):7-11.

[4]冯涛.“教”让道于“悟”——从一节高三复习课谈起[J].中学教研(数学)，2015(10):5-8.

*收文日期：2016-01-12；2016-04-06

李学军(1976-)，男，吉林德惠人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O122.3

A

1003-6407(2016)08-15-04