●蒋　茵

(台州市第一中学　浙江台州　318000)



学生自主编题教学探索*

——以高三平面向量复习为例

●蒋茵

(台州市第一中学浙江台州318000)

“学生自主编题”是一种新型的教学方式，能有效激发学生的学习兴趣，优化数学思维，提高创新意识和能力.文章通过一个高三复习课教学案例，展示了“教师示范引领、学生自主编题”在数学课堂教学中的实际操作过程，并从中得到一些教学感悟和反思.

自主编题;题根;创新意识;数学思维;平面向量

普通高中《数学课程标准》中明确提出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.”[1]而“学生自主编题”是笔者近来尝试进行的一种新型高三复习课教学方式,通过“教师示范引领、学生自主编题”，使学生成为课堂主体，有效激发其学习兴趣，优化数学思维，建构知识网络，提高创新意识和能力.近日，在“浙江省台州市高三数学复习研讨会”上,笔者有幸开设了一堂公开课“平面向量兼两性，形来数往总相宜”,对“学生自主编题”教学方式有了更深刻的理解和感悟，现记录如下,与同行分享.

1　“学生自主编题”课实录

1.1剖析题根，揭示本质

(2015年浙江省数学高考文科试题第13题)

设计意图通过对平面向量题根问题的解决,引导学生总结解决问题的3种基本方法,引领学生强化认识向量数与形的两面性,既是数的运算,也是“图形”的运算,而向量的代数运算也并非只为坐标运算,揭示“基底法”和“坐标法”在本质上是一致的,提高学生对数学的理解.

(教师让学生思考片刻后回答.)

生1：坐标法.以e1的起点为坐标原点、e1所在的直线为x轴建立坐标系,则

设b=(x,y),则

从而

于是

师：很好！你是怎么想到用坐标法解决问题的？

生1：向量可以用坐标表示,而且此题涉及向量的数量积和模,因此可以通过代数运算来解决.

师：向量的代数运算除了坐标法,还有其他方法吗？

生2：基底法.设b=xe1+ye2,则

从而

于是

师：很棒！坐标法与基底法有联系吗？

生2：有,它们都属于代数法.坐标法选取了x轴和y轴正方向上的单位向量作为基底,因此它是一种特殊的基底法.

师：非常好！能否再从其他角度解决本题？

图1

师：非常精彩！你是怎么想到用几何法的？

生3：因为平面向量有几何表示,所以向量的数量积也有几何意义.

师：那你有没有想过用代数法呢？

生3：想过.

师：生1,你有没有想过用几何法呢？

生1：没有.

师：想过也好，没想过也好，通过大家的补充,我们认识到解决平面向量的基本方法有哪些？

生(齐声回答)：1)坐标法；2)基底法；3)利用几何意义求解.

师：这些方法是基于对向量的理解,因为向量集数与形于一身,所以向量既有代数法,也有几何法.后面我们还会学到向量可以作为一种工具,把数的问题转化为形的问题,把形的问题转化为数的问题.今天我们这节课的主题是：平面向量兼两性,形来数往总相宜.

1.2合作编题，渗透思想

师：下面我们改变题目条件,进行编题.

(教师示范,出示编题1.)

编题1去掉b·e2=1,求|b|的最小值.

生4：同生1得b·e1=x=1,从而

故当y=0时,|b|min=1.

师：很好！生4和生5分别用2种方法解决了问题,你可以编出类似的变式问题吗？

(学生分组思考与讨论,给出下列编题.)

生6(组1)：我们考虑的问题是：

编题2b·e1=b·e2=1改为b·e1=b·e2,求|b|的取值范围.

生7(组2)：我们这样思考：

图2

生8(组3)：我们的题目是：

故

师：3个小组的代表改变题目条件及结论给出了3个精彩的编题,并用几何法较好地解决了问题.而且我们发现,在改变符号语言描述的条件时,对应的图形也相应发生了改变,你还能编出其他问题吗?

图3

生9(组4)：可以，改变图形.如图3,我们把向量b的终点C在直线l1上运动改为在直线AB上运动.

师：那你能否用数学符号语言来描述？

生9思考片刻得到编题5：

由图3知：当OC⊥AB时,

师：这位同学由“形”编出的题非常漂亮！能否再由“数”解题？

生10(组5)：我们也可以把向量b的起点放在点A,终点C在直线OB上运动，得到如下新问题：

由图4知：当AC⊥OB时,

师：点C除了在直线上运动,还可以在哪里运动？其他组能否继续编出新问题？

图4　　　　　　　　　　图5

生11(组6)：我觉得还可以在圆上运动,如图5,点C在以AB为直径的圆上运动，但我不知如何用数学符号语言描述？

师：没关系,我们可以留作课后思考.你继续思考如何描述题目,再让其他组员来解答.

师：如果再想下去,能否让点C在平面上任意动,此时又该求什么？

(学生编题出现困难,教师出示高考题让学生思考.)

师：我们来看看高考命题者是怎样编题的.

设计意图倡导“自主、合作、探究”的学习方式,通过教师示范编题和引导学生自主编题让学生体会到由“形”编题,由“数”解题,由此把众多的知识串联起来,形成有机联系的整体的过程.强调知识之间的联系性,突出知识背后的数学思想,培养学生思维的深刻性和创新性,同时为顺利过渡到如下的高考题作好铺垫.

1.3综合应用，深化理解

(2013年浙江省数学高考文科试题第17题)

设计意图通过高考题为载体内化知识,进一步强化数形结合、化归与转化、函数等数学思想.教师要引导学生看到向量问题与三角函数之间的联系，通过先解题再分析揣摩命题者编题的思维与意图，从而提高学生的编题、解题能力及优化学生的思维.

生12：因为|b|2=x2+y2+2xye1·e2=x2+y2+xy(其中x,y不全为0),所以

生13：由图6得

图6

师:同学们,刚才我们用代数法和几何法解决了例2,你认为高考命题教师是怎么编出例2的?由“数”编得,还是由“形”编得?

生14:由“形”编得,再将图形语言转化为符号语言,于是解决此问题就能数形结合了.

师:非常精彩!同学们都会分析揣摩出命题者的思维和意图,那么解题就显得轻而易举了.

2　对“学生自主编题”教学的反思

2.1在组织学生自主编题前，教师要给出题根,先行示范引导

在组织学生编题前,教师要考虑2个方面问题：一是如何选好题根；二是考虑如何示范引导.

题有千变,贵在有根.何为题根？题根是一道题,而且是具有“生长性”的好题,在它的基础上,数学人不仅能“看”出它的精髓,释放出它的价值,而且以它为“根”,可以“长”出很多好题[2].本课选择高考试题作为根题,一方面认为平面向量问题向2个基向量寻根，而且充分揭示高考平面向量题考查的重点知识为平面向量数量积,核心思想方法为数形结合,让学生从中领悟向量集数与形于一身,向量运算既是数的运算,也是“图形”的运算；另一方面以此题根为模型编拟出相关联的题目,使学生触类旁通,举一反三,掌握编拟与处理该类问题的方法与技巧,这样的题根选择具有基础性、典型性和辐射性.

学生自主编题教学方式看似学生是主角，教师是配角,但教师的示范引导非常重要.首先教师要示范编题的方法，其中包括变条件、变条件和结论、变静态为动态、变背景等等.如本课教师先改变题目条件给出编题1,再要求学生自主编题.其中有3组学生就能迅速模仿,其中2组去掉一个条件给出编题2、编题3,另一组改动数据给出编题4,属于低层次编题.当学生有了模仿编题的经验后,再引导学生多角度、多层次编拟题目,编题5～7是教师引导学生将问题进行拓展，迁移到其他背景进行编拟的结果，属于高层次编题.与此同时，本课中教师通过引导让学生逐渐认识到向量题的编拟往往还是由“形”出发.其次教师还要在课前对学生可能编拟出的问题作好充分的预设,才能在课堂上及时把握住生成问题,做到胸有成竹,应对自如.

2.2在组织学生自主编题时，教师要给予学生充分的时间与空间,注重培养学生的思维能力

首先,教师要给足学生一定的时间进行思考,组织学生以小组合作的方式进行编题,这样不仅让每个学生都可以根据自己理解的层次,编拟出与其知识、能力及个性相符的问题与解答,而且还可以增进教师与学生、学生与学生之间的交流,在此过程中师生集思广益,共同进步.如本课学生先通过小组内部激烈讨论后,再在课堂中进行小组编题成果的汇报,教师的示范编题给了组1～3不少提示,而组4的编题也提示了组5和组6.为了使课堂中有更多的编题时间,可以将题根问题的解决提至课前,课中直接交流解法.

其次,教师要逐步拓展学生的编题空间,既然向量题的解题离不开数和形,那么向量题的编题也离不开这2个角度.由“形”编题过程中,从知识结构角度,点在直线上运动可以拓展为点在曲线上运动,进一步拓展为点在平面上任意动等等.通过拓展编题空间,促使学生在编题过程中把与题根问题相关的知识点和知识结构理解掌握得更准、更全、更深、更透.

再次,数学是一种思维活动,因此在编题过程中,不仅要关注知识点与知识结构,还要突出知识背后的思想方法,培养学生思维的开放性、灵活性与深刻性.本节课教师通过“请问你是怎么想到用坐标法解决问题的？你又是怎么想到几何法的？在改变符号语言描述的条件时,对应的图形也相应发生了改变,你还能编出其他问题吗？”等问题,引导学生意识到向量题的解法和编拟不是凭空产生的,其中蕴含着数形结合思想、化归与转化思想、函数思想等,从而促进学生思维的发散拓展.

2.3在组织学生自主编题过程中，培养学生的创新意识和创新能力,激发学生的学习兴趣

教育家陶行知说过：“人生两大宝,双手和大脑.”动手、动脑是学生在主体活动中培养创新能力的有效方法,而“鼓励学生自己编题”恰恰体现在学生的动手动脑上[3].本课学生在编题环节中都积极地投身于自觉动脑和动手活动之中,而且编出了不少创新性好题,如编题4,组3在前2组学生的基础上有所创新,对条件的改变不仅可以删除条件,而且可以改动数据,并且还可以对结论加以改变,由求向量的模改为求2个向量的夹角(求模和求角正是平面向量的2个重要知识点).更让人欣喜的是,这道编题恰好是2015年浙江省数学高考理科卷的空间向量题的改编(将空间向量平面化).通过编题,让学生佩服自己不仅能解高考题,而且也能改编高考题,自己编出来的题与另一道高考题也是如出一辙,进而增强学生的学习自信.此外,通过学生的课堂总结：“我觉得向量题一般由‘形’编得,再将图形语言转化为符号语言,而解决向量题可以从‘数’和‘形’2个角度去思考.”让笔者意识到通过学生自主编题教学，使学生对问题的本质理解、思想方法的运用上升一定高度，能有效地激发学习兴趣和增强探知未知世界的欲望.

从本次“学生自主编题”教学实践看,尽管笔者获得了成功，但仍有一些不足之处：一是学生编题难度大，对于文科学生来说，创新编题难度系数偏低,课堂上出现不少编题困难,有几何编题无法转为符号语言描述的,也有条件更加开放,结论无从编起的；二是编题深度不够，“学生自主编题”具有开放性、灵活性等特点，但课堂时间有限，题目类型不够丰富，缺乏深刻性；三是学生编题前教师的示范引领不到位.比如：图1中的点是定点，如果动起来呢？在哪里动？此时又该求什么？这些问题帮助学生从一开始就认识到向量题编题由“形”出发，能为学生接下来的编题作好有效铺垫.

笔者坚信：会解题的人不一定会编题,会编题的人一定会解题，因此“学生自主编题”的教学方式也一定会给教师和学生带来新的收获.

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2003版)[M].北京：人民教育出版社，2013.

[2]陈忠怀.题根：高中数学[M].1版.太原：山西教育出版社，2015.

[3]俞昕.例谈学生自主编题探究活动[J].数学通报,2016(1)：31-33.

*收文日期：2016-04-13；2016-05-20

蒋茵(1981-)女，浙江台州人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-22-05