陈引兰,燕　敏,韦鹤玲

(湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石　435002)



矩阵的Hadamard 积及积的特性

陈引兰,燕敏,韦鹤玲

(湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石435002)

讨论矩阵的Hadamard积的一些代数性质，并对A,B为对称阵、反对称阵、对称正定阵、对称半正定阵、对称负定阵、对称半负定阵等特殊矩阵类，给出了A,B的Hadamard积的类型.

Hadamard 积；对称阵；正定阵

A∘ B=(aijbij)=(bijaij)=B∘ A ；

(A∘ B)∘ C=(aijbij)∘(cij)=(aijbijcij)=(aij)∘(bijcij)=A∘(B∘ C);

A∘ J=(aij∘ 1)=(aij)=A.

下面讨论，当A,B 为对称、反对称、对称正定、对称半正定、对称负定、对称半负定等特殊矩阵时，Hadamard积A ∘ B的特性.

命题3设A,B 为n阶是对称阵，则A∘ B 是对称阵.

证明设A=(aij),B=(bij),C=A∘ B=(cij) ，则aij=aji,bij=bji，(i,j=1,2,…,n),

故cij=aijbji=ajibji=cji，即A ∘ B=(A∘ B)'，所以A∘ B 是对称阵.

命题4设A,B 为n阶反对称阵，则A∘ B 是对称阵.

证明设 A=(aij),B=(bij),C=A∘ B=(cij) ，则aij=-aji，bij=-bji(i,j=1,2,…,n) ，故cij=aijbij=ajibji=cji，即A∘ B=(A∘ B)' ，所以 A∘ B是对称阵.

命题5设 A为n阶对称阵，B是n阶反对称阵，则 A∘ B是反对称阵.

证明设A=(aij) ,B=(bij) ,C=A∘ B=(cij)则aij=aji,bij=-bji，(i,j=1,2,…n) ，故cij=-aijbij=-ajibji=-cji，即(A∘ B)'=-(A∘ B) ，所以A∘ B 是反对称阵.

为了讨论正定和半正定的情况，先给出三个引理，其证明由(半)正定和(半)负定的定义[1]容易给出，亦可参见文献[2].

引理1若A 为n阶实对称阵，则A 是半正定当且仅当存在n阶实矩阵C，使得 A=C′C.

引理2若A 为n阶实对称阵，则A 是正定当且仅当存在可逆矩阵C，使得A=C′C .

引理3若A 为n阶实对称半负定阵，则-A 是实对称半正定；若A 为n阶实对称半正定阵，则-A 是实对称半负定.

命题6设A,B 为n阶对称半正定矩阵，则 A∘ B是对称半正定矩阵.

证明因为A,B 是对称阵，由命题3知： A∘ B是对称阵。又 B是半正定，由引理1知：存在C=(cij)∈n×n，使得B=C′C .记A=(aij),B=(bij),A∘ B=(dij)则bij=c1ic1j+c2ic2j+…+cnicnj，故对任意0≠x=(x1,x2,…,xn)′∈n，有二次型

(*)

故(*)式右边各项均非负，即x′(A∘ B)x≥0，从而 A∘ B是对称半正定矩阵.

命题7设A,B 为n阶对称正定矩阵，则A ∘ B 是对称正定矩阵.

证明因为 A,B是对称阵，由命题3知： A∘ B 是对称阵。又B是正……