杨存典,刘端森(商洛学院数学与计算机科学学院,陕西商洛　726000)

高阶Bernoulli多项式和高阶Euler多项式的组合恒等式

杨存典,刘端森
(商洛学院数学与计算机科学学院,陕西商洛726000)

研究了高阶Bernoulli多项式和高阶Euler多项式的关系,并得到了高阶Bernoulli多项式和高阶Euler多项式的表达式及关系式.运用Bernoulli多项式和Euler多项式的基本性质以及初等方法,对经典Bernoulli多项式和Euler多项式的恒等式进行了推广.

高阶Bernoulli多项式;高阶Euler多项式;恒等式

引用格式:Yang Cundian,Liu Duansen．Combinatorial Identity of HighGorder Bernoulli Polynomial and HighGorG der Euler Polynomial[J]．Journal of Gansu Sciences,2016,28(2):7G9．[杨存典,刘端森．高阶Bernoulli多项式和高阶Euler多项式的组合恒等式[J]．甘肃科学学报,2016,28(2):7G9．]

众所周知,多项式和特殊函数的研究在数论、组合数学、特殊函数中的应用非常广泛[1],引起了许多专家和学者的兴趣.特别是经典Bernoulli多项式、Euler多项式、Bernoulli数和Euler数的研究更是成果斐然. Apostol在文献[2]中研究LipschitzGLerch Zeta函数时将Bernoulli多项式做了有益的推广.雒秋明等在文献[3]中将Euler多项式也做了类似的定义.文献[4G8]中作者给出了Bernoulli多项式和Euler多项式的一些恒等式.研究将在高阶Bernoulli多项式和高阶Euler多项式定义的基础上,得出一些有趣的组合恒等式.

1　定义及引理

定义3第二类Stirling数S( n,k)由下列生成函数定义:

引理1若n是非负整数,λ是复数且R(λ)＞0,则[4]

引理2若n是非负整数,α,λ是实数或复数,R(λ)＞0,则[4]

这里F[ a,b;c;t]表示Gauss超几何函数[1].

2　主要结论

定理1若n是非负整数,α,λ是实数或复数,R(λ)＞0,则有

定理2若n是非负整数,α,λ是实数或复数,R(λ)＞0,有加法公式

在式(4)和式(5)中,取λ＝1,α＝1,即得经典加法公式.

定理3若n是非负整数,α,λ是实数或复数,R(λ)＞0,有差分公式

定理4若n是非负整数,α,λ是实数或复数,R(λ)＞0,有组合……