梁济明

(贵阳学院 继续教育学院，贵州 贵阳 550005)

指数为3和5的费尔马大定理第一情形的一种简单初等证明

梁济明

(贵阳学院 继续教育学院，贵州 贵阳 550005)

用初等乘法公式给出指数为3和5时费尔马大定理第一情形的一种简单初等证明；类似方法可推广到更高素指数，得到费尔马大定理第一情形的一种“奇妙”解决思路。

简单初等证明；费尔马大定理第一情形；一种解决思路

一、引言

费尔马大定理，更多被叫做费尔马最后定理(Fermat’ Last Therom)，就是指：在n为大于2的正整数时，方程xn+yn=zn没有关于x、y、z的正整数解。当n不整除xyz时,被叫作“第一情形”。本文给出方程x3+y3=z3在3不整除xyz时,没有关于x、y、z的正整数解的一种巧妙的简单初等证明，尝试由此特殊证法引申推广到指数为5的情况，找到证明费尔马大定理第一情形的一种解决思路。

二、方程x3+y3=z3当3不整除xyz时，没有正整数解的证明

证明：

(一)方程x3+y3=z3的预备知识讨论

假设存在一组正整数解x、y、z满足方程：

x3+y3=z3

①

若x、y有1以上的正整数公因子d，即：

(x,y)=d>1

⟹d|z=dz1,z1∈Z+

且：(x1,y1)=(x1,y1)=(y1,z1)=1

∴以下仅证明方程 ① 没有x、y、z两两互质的正整数解。

我们定义这样的一组正整数解为：费尔马方程的基本解。

(二)方程x3+y3=z3的特殊性质

从初中学生就掌握的多项式乘法公式出发，有如下恒等式：

②

∵假设①成立，即 ① 有费尔马方程基本解，满足：x3+y3=z3⟺x3+y3-z3=0

代入② 式右边，得到：

③

④

奇妙的是，显然有 ：

∵3是素数

⑤

⟹32|④式右边

⑥

(三)第一情形：当3不整除xyz时

同时由⑤式⟹3|z

∴⟹3|xyz，此与第一情形3不整除xyz矛盾。

由此得证

结论1：不存在没有因数3的一组正整数解x、y、z，

满足方程：x3+y3=z3

三、方程x5+y5=z5当5不整除xyz时，没有正整……

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