屈威

（韶关学院数学与统计学院，广东韶关512005）

求解分数阶扩散方程的循环预处理的极小化残量法

屈威

（韶关学院数学与统计学院，广东韶关512005）

摘要：将循环预处理的极小化残量法应用到分数阶扩散方程的求解中，利用Crank-Nicolson方法给出了扩散方程的隐差分格式，以及循环预处理矩阵的形式，并通过数值实验说明.

关键词：分数阶扩散方程；Toeplitz矩阵；循环预处理算子；极小残量法

分数阶微分方程是传统整数阶微分方程的推广，其产生于一些反常扩散模型.分数阶微分方程主要包括空间分数阶微分方程、时间分数阶微分方程、空间-时间分数阶微分方程3大类.由于分数阶微分算子与整数阶微分算子相比，其具有非局部的性质，非常适合描述现实世界中具有记忆以及遗传性质的材料，现已成为描述各类力学与物理行为的重要工具，因此被广泛应用于流体力学、模拟地下水的传送、反常扩散、信号处理与系统识别等其他科学研究领域.然而，分数阶微分方程的解析解很难显示表出，因而分数阶微分方程的数值解与数值算法备受研究专家者的关注，现已成为当前研究领域的热门问题.

M.M.Meerschaert等首先提出了利用有限差分的方法求解分数阶微分方程［1-2］.近年来，有关分数阶微分方程的数值解的研究工作也取得了许多显著的成果，主要包括：（1）有限差分法；（2）有限元法；（3）预处理法；（4）多重网格法；（5）反积分法等［2-9］.本文主要研究空间分数阶扩散微分方程的数值……