谭启军（重庆房地产职业学院，重庆 401331）



带积分边界条件的四阶常微分方程边值问题

谭启军
（重庆房地产职业学院，重庆 401331）

摘要：本文应用不动点定理研究一类非局部四阶边值问题正解的存在性和非存在性[1].以往大部分文章中的四阶问题边值条件是局部的，本文研究含有一个系数的非局部边值问题正解的存在性和非存在性.

关键词：边值问题；积分边界条件；不动点定理；正解；四阶常微分方程

0　引言

本文研究如下边值问题：

其中，ω在t=0和（或者）t=1处奇异[2]，f∈C[0,1]×[0,+∞)×(-∞,0],[0,+∞)],g,h∈L1[0,1]非负.

假设满足如下条件：

（H2）f∈C([0，1]×[0，+∞)×(-∞，0]，[0，+∞));

（H3）g，h∈L1[0,1]非负，μ∈[0，a)，v∈[0，a).其中

J=[0,1],E∈C2[0,1].

显然，(E，||x||2)是一个Banach空间，简记为E.

令K是E中的锥，

Kr={x∈K∶||x||2≤r},鄣Kr={x∈K∶||x||2=r},Kr,R={x∈K∶r<||x||2≤R}.

其中，0

1　预备知识

引理1假设条件(H0)和(H3)成立，且μ≠a，v≠a.则对任意的y∈C[0，1]，x是如下边值问题的解：

当且仅当

其中

其中σ=a2+2abτ.

1.1首先证明必要性

令z=x''则边值问题（2）可变为

上式通过反复计算可得

类似地，由

得

类似地，式（8）代入式（9）得

因此，必要性已证.

1.2下证充分性

根据H1的定义以及式（10），z(s)是如下边值问题的解：

类似地，式（11）蕴含着x(t)是如下边值问题的解

由（12）以及（13）式，充分性得证.

命题1假设条件(H0)和(H3)成立，且μ≠a，v≠a。则有

在E中构造锥K:

易知K是E的闭凸锥，且

定义算子T∶C2[0,1]→C2[0,1]∶

记

由式（20）可知H(t，s)有如下性质.

命题2假设条件(H0)和(H3)成立，且μ≠a，v≠a.有

引理2假设条件(H0)-(H3)成立.如果x∈C2[0,1]积分方程

引理3假设条件(H0)-(H3)成立.则T(k)∪K且T∶K→K全连续.

2　主要定理

下面给出几个记号

其中β表示0或者∞，且

定理1Ω1和Ω2是实Banach空间E中的有界开集，，P是E中的锥，全连续.如果下列条件满足

定理2假设条件(H0)-(H3)成立.边值问题（1）至少有一个正解[3]，当且仅当下列条件之一成立

其中，λF(f0+ε1)≤1

这意……