易书明　蹇继贵

(三峡大学 理学院， 湖北 宜昌　443002)



基于忆阻的脉冲BAM神经网络的拉格朗日稳定性

易书明蹇继贵

(三峡大学 理学院， 湖北 宜昌443002)

摘要：本文研究了一类带有时滞的忆阻脉冲BAM(Bidirectional Associative Memory)神经网络的Lagrange稳定性．利用Lyapunov函数和不等式方法，得到时滞忆阻脉冲BAM神经网络的Lagrange稳定性的充分条件，根据系统自身参数给出了其全局指数吸引集的估计．最后，通过数值实例验证了理论的正确性．

关键词：BAM神经网络；忆阻器；脉冲；拉格朗日稳定性；李雅普诺夫函数；不等式

双向联想记忆(Bidirectional Associative Memory， BAM)神经网络模型最早由Kosko[1-3]提出，这类网络在模式识别、信号处理和人工智能等方面得到广泛应用．目前对BAM神经网络的动力学行为如平衡点的存在性、唯一性和全局稳定性的研究出现了大量成果[4-11]．

众所周知，脉冲现象影响着神经网络的稳定性[12-13]，脉冲的存在意味着状态轨迹不会一成不变．在文献[14]中，关治洪教授等讨论了时滞脉冲Hopfield神经网络的平衡点的存在性、唯一性和全局稳定性．同时，关于时滞脉冲神经网络的渐近或指数稳定也被广泛研究[15-16]．

20世纪70年代，蔡少棠教授[17]从逻辑和公理的观点指出，自然界应该还存在一个电路元件，它表示磁通与电荷的关系，这就是忆阻器．随着科学的发展，惠普公司在2008年做出了纳米忆阻器，引起全球对忆阻研究的广泛关注[18-19]．忆阻器是模拟人工神经网络突触的最佳原件，因此，许多研究者对基于忆阻的神经网络进行了研究[20-23]．在文献[24-25]中，吴爱龙和曾志刚教授考虑了一类含有忆阻突触和多重滞后的神经网络，研究了它的有界性．在文献[26]中，张国东博士等研究了一类忆阻递归神经网络的Lagrange稳定性．而对于带有时滞的忆阻脉冲BAM神经网络的Lagrange稳定性的研究成果还没有发现，因此，本文建立一种新的时滞忆阻脉冲BAM神经网络，并运用不等式技巧讨论其Lagrange稳定性和全局指数吸引集．

考虑如下忆阻脉冲BAM神经网络：

(1)

假设系统(1)的初始条件为

(2)

其中φi(s)，ψj(s)是定义在[-τ，0]上的连续函数．令

考虑如下两种函数集合B={p(x)|p(x)∈C(R，R)，∃ξ>0，|p(x)|≤ξ，∀x∈R}，S={p(x)|p(x)，p(y)∈C(R，R)，∃ζ>0，|p(x)-p(y)|≤ζ|x-y|，∀x，y∈R}，令

定义1[11]称系统(1)是一致有界的．若∀H>0，∃K=K(φ，ψ)>0，使得‖(xT(t)，yT(t))‖≤K(φ，ψ)对所有(φ，ψ)∈CH，t≥0成立．

定义2[27]称系统(1)是Lagrange全局指数稳定的，若存在正定径向无界的函数V(x，y)，函数K(φ，ψ)∈C，l>0，α>0，使得对系统(1)的任意解x(t)=x(t；φ，ψ)，y(t)=y(t；φ，ψ)，V(x，y)>l，t≥0，有

(3)

紧集Ω：={x∈Rn，y∈Rm|V(x，y)≤l}称为系统(1)的全局指数吸引集．

引理1[27]设G∈C([t，+∞]，R)，存在正常数α和β使得

(4)

那么有

(5)

1主要成果

证：构造正定径向无界的Lyapunov函数

当t≠tk时，

由引理1可得

当t=tk时

则有

综上所述，对任意t>0有

由定义2知，系统(1)是Lagrange全局指数稳定的，且Ω1是(1)的全局指数吸引集．

证：构造正定径向无界的Lyapunov函数

当t≠tk时

由上式可以得到

由引理2可以得出

其中λ是方程λ=L2-L3eλτ的唯一正根．

当t=tk时，

综上所述，对任意t>0有

由定义2知，系统(1)是Lagrange全局指数稳定的，且Ω2是(1)的全局指数吸引集．

注1：在本文的条件下，定理1和定理2通过选取的特定Lyapunov函数得到的结果与时滞无关．因此，无论有限时滞，还是无限时滞，都不会影响定理的正确性．

2仿真实例

同时，取初始条件x1(0)=0.7，x2(0)=1，y1(0)=1.2，y2(0)=0.9，图1表示x1(t)，x2(t)，y1(t)，y2(t)随时间t变化的状态图，图2～5显示系统(1)分别在三维相空间内的界估计．

图1　x1(t)，x2(t)，y1(t)，y2(t)随时间t变化的状态图

图2　系统(1)在坐标系(x1，x2，y1)内的界估计

图3　系统(1)在坐标系(x1，x2，y2)内的界估计

图4　系统(1)在坐标系(x1，y1，y2)内的界估计

图5　系统(1)在坐标系(x2，y1，y2)内的界估计

3结语

本文运用Lyapunov函数和不等式方法研究了时滞脉冲的忆阻BAM神经网络的Lagrange稳定性，得到了Lagrange全局指数稳定的充分条件，并对其全局指数吸引集进行界估计．最后，通过数值实验验证了理论的正确性．

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[责任编辑张莉]

DOI：10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.03.022

收稿日期：2016-03-08

基金项目：国家自然科学基金(61273183，61304162，61174216)

通信作者：蹇继贵(1965-)，男，教授，博士，主要从事系统的稳定性，神经网络理论，非线性系统控制等研究．E-mail：jiguijian@ctgu．edu．cn

中图分类号：O231.2

文献标识码：A

文章编号：1672-948X(2016)03-0098-06

Lagrange Stability for Memristive BAM Neural Networks with Impulse

Yi Shuming Jian Jigui

(College of Science， China Three Gorges Univ., Yichang 443002， China)

AbstractThis paper investigates Lagrange stability for a class of memristive BAM impulse neural networks with multiple time-varying delays and finds the global exponential attractive sets of it．By applying inequality techniques and Lyapunov function， some easily verifiable delay-independent criteria for the Lagrange stability and global exponential attractive sets of memristive BAM impulse neural networks are obtained by constructing appropriate Lyapunov functions． Finally, an example with numerical simulations is given to illustrate the results obtained．

KeywordsBAM neural networks;memristor;impulse;Lagrange stability;Lyapunov function;inequality