王国威, 梅检民， 曾锐利， 常　春

(1.军事交通学院 研究生管理大队,天津　300161；2.军事交通学院 军用车辆系,天津　300161)

基于曲线特征分段的多阶FRFT滤波提取齿轮早期故障特征

王国威1, 梅检民2， 曾锐利2， 常春1

(1.军事交通学院 研究生管理大队,天津300161；2.军事交通学院 军用车辆系,天津300161)

对于变速器齿轮早期微弱故障特征难以提取的问题，提出了一种基于曲线特征进行分段的多阶分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform，FRFT)滤波方法。首先，依据振动信号频率曲线的特征将目标档位的啮合频率曲线分成若干频率近似线性变化的信号段，然后通过计算确定相应信号段的分数阶傅里叶变换的滤波最佳阶次，再逐段进行滤波，从而分离出包含故障特征信息的目标阶比分量，进而进行故障特征提取。通过采用该方法分析变速器变加速工况振动信号，结果表明，基于曲线特征进行分段的多阶FRFT滤波能够有效分离出啮合频率分量，对分离出的分量进行阶次包络解调分析，能准确提取出齿轮微弱故障特征。

基于曲线特征分段；多阶FRFT滤波；变加速工况；特征提取

变速器早期故障特征微弱，在稳态运行时难以暴露；而变转速过程更能充分暴露微弱的故障特征，但其他分量和噪声干扰也更强，因此如何有效剥离噪声和其他分量干扰，提取携带故障特征信息的目标阶比分量成为提取早期故障微弱故障特征的关键[1]。

在变转速工况下，变速器振动信号频率呈曲线变化，分量之间易产生时频混叠，并且信号在时、频域都具有较大的带宽，因此单独使用时域、频域滤波无法分离目标分量；采用传统的时频滤波需要设计参数，计算复杂，效率较低[2]；基于分数阶傅里叶变换( Fractional Fourier Transform，FRFT)的单阶自适应滤波非常适合处理线性调频信号滤波分离，无需设置和选择复杂滤波器，计算快速；由于线性调频信号在不同阶次的分数阶傅里叶域内会呈现出不同的能量聚集性，所以只要选择最佳阶次和滤波中心进行分数阶域滤波就能分离出目标阶比分量。当信号频率呈曲线变化时，单阶FRFT滤波无能为力，此时需要采用多阶FRFT滤波，即将频率呈曲线变化的信号分成若干个频率近线性变化的信号段，再根据各段的FRFT滤波阶次和滤波中心参数，逐段进行滤波，实现频率呈曲线变化分量的滤波分离；但需要有效的信号分段方法贴近信号频率曲线变化特点进行分段，既能保证各段信号频率近线性变化，又能使分段数量尽量少。

本文提出了一种基于曲线特征进行分段的多阶FRFT滤波方法，用于分离变转速工况下频率成曲线变化的二档啮合频率分量，然后对分离后的信号进行阶次包络解调分析，该方法能有效隔离其他分量和噪声的干扰，分析精度得到了提高，并提取出变速器齿轮早期故障的微弱特征。

1FRFT及FRFT滤波原理

1.1FRFT的定义

信号x(t)的FRFT的定义式为[3]

(1)

FRFT变换的核函数为

Kp(t,u)=

(2)

1.2单阶FRFT滤波原理

在变加速工况下，变速器的振动信号接近于多分量LFM信号，其在时、频域都具有较大的带宽，因此单独采用时域、频域滤波都不能有效分离携带特征信息的目标分量，而FRFT很适合用于对LFM信号进行自适应滤波[4]，如图1所示是两个分量的线性调频信号的时频分布，其中一个分量的时频分布与时间轴的夹角为β。只要FRFT的旋转角度α与β正交，则该LFM信号分量在分数阶傅里叶域上的投影就应该聚集在u0一点上，以u0为中心做窄带滤波，再进行-α角度旋转，即可实现对LFM信号分量的滤波。

图1　FRFT提取LFM 信号Fig.1 Extraction of LFM signal by FRFT

1.3多阶FRFT滤波原理

变速器变加速工况下，其振动信号为多分量非线性调频信号，如图2所示。

图2　FRFT提取非线性调频信号分量Fig.2 Component of nonlinear frequency modulation signal Extraction by FRFT

图2中两个分量的频率都呈曲线变化，只旋转一个角度的单阶FRFT自适应滤波失效。文献[5]指出的多阶FRFT自适应滤波，通过依次旋转多个角度α1，α2，α3，α4在多个分数阶域u1，u2，…，ui上以u01，u02，…，u0i为中心滤波，可以分离出图2所示的信号。如图以分量1为例，将分量1分成四段近似直线的信号段f01、f02、f03、f04，并且这四段信号会分别在u01、u02、u03、u04四个位置聚集，出现4个峰值，由于难以将这些峰值与信号段进行一一对应，所以确定非线性调频信号各段FRFT滤波的最佳阶次比较困难。

2基于频率变化曲线的特征进行分段的多阶FRFT滤波

进行多阶FRFT滤波的关键步骤就是将频率呈曲线变化信号分成若干频率近似线性变化的信号段，然后确定各段信号的单阶FRFT滤波最佳阶次，逐段进行滤波，从而分离出包含故障特征信息的目标分量，进而进行故障特征提取[6]。

为了有效进行多分量非线性调频信号的多阶FRFT滤波，本文提出了一种基于频率变化曲线的特征进行分段的方法，将信号分成若干近似的线性调频段，然后根据转速信号确定各段信号的FRFT滤波最佳阶次，再逐段进行滤波，分离出目标阶比分量，达到提取故障特征的目的。

2.1基于频率变化曲线的特征进行分段

在变转速工况下，变速器振动信号为频率呈曲线变化的多分量调频信号，本文提出了一种基于曲线特征对啮合频率曲线进行分段的方法，使各段近似于线性变化，以变速器的二档分量为例，其操作步骤如下：

(1) 依据变速器输入轴转速信号计算出转频及第二档位的啮合频率分量f2，然后画出频率变化曲线。其曲线如图3所示。

图3　二档啮合频率分量曲线Fig.3 Curve of second gear meshing frequency component

(2) 为了在曲线上选取时间间隔相同的点来进行分析计算，因此采用一维插值函数进行插值，首先以曲线的起始点为插值的起点，然后以步长a=0.05依次在曲线上插入对应的值，但不超过时间轴的范围，其示意图如图4所示。

图4　插值后的二档啮合频率分量曲线Fig.4 Curve of second gear meshing frequency component after interpolation

设依次插入的点为x1，x2，x3…xm(m为插入的总点数)，为了将曲线合理地分成若干近似直线段，从插值起点开始按顺序取三个点，例如取x1，x2，x3三个点，用这三个点构成一个三角形，然后计算三角形里第一个点和第三个点即点x1、x3连起来的那条最长边上的高h，其示意图如图5所示，设定一个阈值hmax，若h

图5　构建的三角形及最长边上的高hFig.5 The constructed triangle and the high on the longest side

因为三角形最长边上的高h的大小可以表征曲线的弯曲程度，因此通过调节阈值hmax能使各分段在任意程度上逼近直线，从而曲线被分为若干近似直线段，满足了单阶FRFT变换对信号线性的要求；此外该分段方法比较贴近信号频率曲线变化特点，既能够保证各段信号频率近似线性变化，又能使分段数量尽量少。

2.2基于转速信号确定FRFT最佳阶次

由图1可以得出 ，最佳变换角度α、变换阶次p与调频率fm的关系式如下[7]：

β=arctan(fm)

(3)

根据式(3)，将采用了一种基于转速信号确定多阶FRFT最佳变换阶次的方法[8]，其步骤如下：

(1) 按照2.1所述的方法对目标阶比分量进行自适应分段，计算出各段分量的调频率fin，fin表示fi分量的第n段信号的调频率，分量f2各段的拟合直线如图6所示；

图6　二档分量各段的最小二乘拟合直线Fig.6 least square fitting curve of each segmentation of second gear

由于变速器的传动比是固定的，而且转速信号很少受到其他噪声或振源的干扰，所以根据转频得到的目标阶比分量各段啮合频率分量比较准确[9-10]，此外据此计算还可以得到精确的各段分量的调频率和FRFT最佳变换阶次，计算效率高。

2.3基于曲线特征进行分段的多阶FRFT滤波

根据上述的分段结果和各段滤波参数，对各段信号分别进行滤波，并按顺序连接各段滤波后的信号，进而提取出频率呈曲线变化信号的目标阶比分量。为了更好地验证基于曲线特征进行分段的多阶FRFT滤波能有效提取出目标分量，采用该方法对一组实测正常信号的二档啮合频率分量进行分析，采样频率为20 kHz，采样点数为40 000，二档啮合齿轮的齿数分别为Z7=13和Z8=35，其实测振动信号的时域波形及转速信号曲线如图7所示。

根据转速信号计算出转频及二档的啮合频率分量，其啮合频率曲线如图8所示，然后对二档啮合频率分量进行分段并得到各段的FRFT最佳阶次依次为p21=1.008 2，p22=1.007 8，p23=1.005 3，p24=1.002 4，然后将各段分量进行对应阶次的FRFT滤波，结果如图9所示。图9(a)中分段1 在u01=12 200点位置出现明显峰值，说明该段分量在其最佳阶次分数阶域具有最佳的能量聚集性，进行带宽为12 167—12 244的窄带滤波，如图10(a)所示，能有效剥离其他分量和噪声干扰，再进行p21阶逆FRFT，提取出分段1分量。同理，可依次提取分段2、3、4分量，从而分离出二档啮合频率分量，如图10所示。

图7　二档啮合实测振动信号的时域波形及转速曲线图Fig.7 Time-domain waveform of second gear meshing vibration signal and speed curve

图8　二档啮合频率分量曲线Fig.8 Curve of second gear meshing frequency component

为了验证提取阶比分量的正确性和准确性，将依次连接提取到的二档各段阶比分量， 然后对得到的二

分段1分数阶变换p21=1.008 2

分段2分数阶变换p22=1.007 8

分段3分数阶变换p23=1.005 3

图9　二档各分段分量相应最佳阶次FRFT变换Fig.9 Analyze frequency component of each segmentation by FRFT with best order

第一段分数阶域滤波第二段分数阶域滤波

u01=12 200,带宽:12167—12244u02=977,带宽:926—986

第三段分数阶域滤波　　　　 第四段分数阶域滤波

图10　二档各段分量分数阶域滤波Fig.10 Signals of second gear filtered in the FRFT domain

档啮合阶比分量进行阶比分析，其阶比谱如图11所示。由图11 可以看到12阶次处有明显的峰值，恰好对应于二档的啮合阶次12.03，由此证明该方法能有效、准确地提取二档啮合阶比分量。

图11　滤波后的二档啮合阶比分量阶比谱Fig.11 Order spectrum of filtered signal of second gear

3基于曲线特征进行分段的多阶FRFT滤波提取齿轮早期微弱故障特征

3.1变速器变转速工况的信号采集

以BJ2020S变速器为试验对象，在输出轴二档齿轮某一节圆处设置点蚀故障，采样频率为20 kHz,采样点数为40 000，调节负载励磁电压为200 V来模拟负载工况，变速器从0 r/min开始加速至1 500 r/min，以输入轴为基准，各档拟合阶次如表1。

表1　BJ2020S变速器各档位啮合阶次

3.2早期微弱故障特征提取

(1) 基于曲线特征对故障信号进行自适应分段

按照2.1节所述的方法对采集到的故障信号进行自适应分段，根据所有三角形最长边上高的计算结果，并使分段数尽量合理，设啮合频率曲线上进行分段判定的高的阈值hmax为5×10-5，分段点的位置以及三角形最长边上高h的值如表2所示。

表2　　自适应分段点位置及高h>hmax

(2) 确定FRFT最佳阶次并滤波提取二档阶比分量

按照确定的分段点对故障信号进行分段拟合并确定各段最佳阶次，得到最佳阶次分别为p21=1.008 3，p22=1.007 5，p23=1.006 1，p24=1.004 2，p25=1.001 9。对各段进行相应阶次的FRFT滤波，然后对提取到的阶比分量进行阶比分析，其阶比谱如图12所示，可以看到二档阶比分量被准确提取出来。

图12　滤波后的二档啮合阶比分量的阶比谱Fig.12 Order spectrum of filtered signal of second gear

(3) 微弱故障特征提取

对滤波前后的故障信号分别进行阶次包络解调分析，结果如图13所示。图13(a)的未滤波阶次包络解调谱，0.43阶次处并没有峰值，说明直接对信号进行阶次包络解调，无法提取齿轮微弱故障特征。由图13(b)可以看出，滤波后的阶次包络解调谱中0.424 2阶次处出现了明显的峰值，与二档输出轴转频阶次基本一致，说明二档输出轴齿轮有故障，与实际情况相符，证明基于曲线特征分段的多阶FRFT滤波方法，有效隔离了其他分量和噪声的干扰，提取出了齿轮微弱故障特征。

图13　原始故障信号与提取分量信号的阶比包络解调谱图Fig.13 Order spectrum envelope demodulation of original signal and extracted component

(4) 有效性分析

为了验证基于曲线特征分段的多阶FRFT滤波提取齿轮早期微弱故障特征方法的有效性，任意取四组变速器在故障状态下置于二档时变加速过程的振动信号，然后分别进行多阶FRFT滤波前和滤波后的阶次包络解调分析，其结果如图11所示。

由图14(a)可以看到，在没有经过多阶FRFT滤波的4个原始故障信号的包络解调谱图中，0.424 2处没有出现峰值，因此无法判定是否存在故障，相反，从图14(b)可以看到，4组经滤波后提取分量的阶比包络解调谱图中，0.424 2阶次处都出现了峰值，这与二档输出轴转频阶次一致，从而验证了基于曲线特征分段的多阶FRFT滤波方法具有较好的有效性。

图14　故障信号滤波前与滤波后的阶比包络解调谱图Fig.14 Order spectrum envelope demodulation of four group signals before filtering and filtered

4结论

(1) 通过试验采集变速器变转速工况下产生的振动信号，然后对信号频率曲线进行插值处理，接着将插入的点依次组成三角形计算最长边上的高h，设定阈值hmax，最后根据阈值hmax将啮合频率分量曲线分成若干频率近似线性变化的信号段，计算简单，效率高。

(2) 采用基于曲线特征的多阶FRFT滤波方法能有效提取变速器变转速工况下频率呈曲线变化的振动信号中的目标阶比分量，隔离其他干扰，然后对分离出的分量进行相应最佳阶次的FRFT滤波处理，从而能达到有效提取齿轮早期微弱故障特征的目的，该方法既能贴近信号频率曲线变化特点分段，又能使分段数量尽可能少。

(3) 通过对比多组故障信号滤波前与滤波后的阶比包络解调谱图，可以证明基于曲线特征分段的多阶FRFT滤波方法能够准确地提取信号中故障特征信息，具有较好的有效性。

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Extraction of gearbox early fault features based on segmenting with features of a curve and multilevel fractional Fourier transformation filtering

WANG Guo-wei1, MEI Jian-min2, ZENG Rui-li2, CHANG Chun1

(1. Postgraduate Training Brigade, Military Transportation University, Tianjin 300161, China;2. Military Vehicle Department, Military Transportation University, Tianjin 300161, China)

To solve the difficulty of extracting early weak fault features of a gearbox, a method of multilevel fractional Fourier transformation (FRFT) filtering based on segmenting with features of a curve was proposed. Firstly, the time-frequency curve of a gear vibration signal in target-gears was segmented according to features of the curve so that the frequency variation in each segment was approximately linear. Then the best FRFT filtering order of each segment was calculated and each segment was filtered to eliminate interference components, at last the fault features were extracted. Vibration signals of a gearbox under variably accelated conditions were analyzed with FRFT, and the test results showed that the target order components under variably accelerated conditions can be extracted using multilevel FRFT; gear fault features can be obtained with envelope demodulation analysis of the extracted order components.

segmentation with features of a curve; multilevel FRFT filtering; variably accelerated conditions; feature extraction

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.025

总后勤部预研资助项目(AS407C001)

2015-04-07修改稿收到日期：2015-05-25

王国威 男，硕士生，1992年7月生

梅检民 男，博士生，讲师，1983年4月生

TH132

A