臧鸿雁

(北京科技大学　数理学院，北京　100083)



数学课程中的创新型人才培养方法研究

臧鸿雁

(北京科技大学数理学院，北京100083)

摘要文章针对数学类课程，从教学理念、教学措施、教学效果三个方面探讨了提高学生创新能力的教学方法，并以信息理论基础课程中事件信息量和信息熵为例，阐述在课堂教学中如何用数学建模的思想构建知识，用科学研究的方式引导知识在应用领域的提升。并以开放性作业为辅助和延伸，培养学生创新能力。从教学效果看，本方法适合数学基础较好的学生，适合小班教学。

关键词创新型人才培养；事件信息量；知识构建；开放性作业

一、研究背景

《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)》强调：“高等教育承担着培养高级专门人才、发展科学技术文化、促进现代化建设的重大任务。提高质量是高等教育发展的核心任务，是建设高等教育强国的基本要求。牢固确立人才培养在高校工作中的中心地位，着力培养信念执著、品德优良、知识丰富、本领过硬的高素质专门人才和拔尖创新人才。”[1]

2005年钱学森提出了一个令人深省的疑问：“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才?”[2]随着“钱学森之问”在社会上引起的广泛关注与讨论，很多专家、学者分别在不同场合阐述了如何培养创新型人才的观点。各高校，特别是一些研究型高校，在创新型人才培养模式、理念等方面已经做出了努力，取得了显著的成效[3-4]。

普林斯顿大学给出的创新型人才所具有的能力如下：具有以批评的方式系统地推理的能力；具有形成概念和解决问题的能力；具有独立思考的能力；具有敢于创新及独立工作的能力；具有与他人合作的能力；熟悉不同的思维方式；具有某一领域知识的深度；具有观察不同学科、文化、理念相关之处的能力；具有一生求学不止的能力；具有独立思考的能力。大力推进教学方法改革，建立以发现和探究为核心的教学模式是创新型人才培养的主要内容。

马克思说：“一门学科只有真正使用数学表示，才能称之为科学。”数学以其高度的抽象性、严密的逻辑性、应用的广泛性和描述的精准性等特征成为越来越多学科领域必不可少的解决问题的工具。由于电子计算机的出现及飞速发展，计算机可以实现越来越多的数学算法，数学作为解决实际问题的工具学科，正在以空前的广度和深度向更多领域渗透。

利用数学和计算机解决实际问题的基本模式(见图1)在解决实际问题的过程中又会提出新的数学问题。

图1　利用数学和计算机解决实际问题的基本模式

大学生数学素质的提高势必会为他们在各自专业领域的发展产生深远影响。所以，数学类课程的教学改革对高校人才培养质量产生重要影响。近年来，各大高校的数学工作者也在积极探索创新型人才培养模式[5-6]。

本文以“信息理论基础”课程中事件的自信息量和信息熵为例，提出了数学类课程挖掘知识产生过程，构建数学知识，变知识传承为思想传承，在应用领域提升知识点的教学理念。笔者在多年教学实践中总结了一些具体措施和方法，并给出了一些具体的教学实施方案和教学效果的评价。

二、教学理念

数学家克莱因说过，如果割断历史，可以说，哪一门学科都不会像数学这样受到伤害。挖掘知识产生的过程，从而构建知识，对数学类课程的意义尤为重要。 数学类课程历史厚重，思想深刻，教材中往往汇集了这几百年来该学科发展过程中得到的重要理论和知识。由于课堂学时受限，又有应试需求，所以绝大多数教材及课堂教学中对这些知识的产生过程没有做深入的挖掘，所以大多数学生对该课程中的一些重要知识的认识处于“只知其然不知其所以然”的状态。这样会导致在这门课程结束考试之后，知识的遗忘速度很快，在实际应用领域又不知道如何学以致用，更重要的是因为知识产生过程的缺失，使得这样培养的学生在该领域很难具有创造有价值的新知识的能力。所以，对知识点产生过程进行研究，并且将其精华展现在课堂上，带领学生重走前人创新之路，同时将知识点向应用领域做适当的延伸，激发学生进一步研究的兴趣，并将深入研究延伸到课外。这样，有助于将数学课程的教学从知识传承向思想传承转变，有助于数学知识的广泛应用(见图2)。

图2　数学模式图

三、教学措施

(一)用直观生动、贴近生活的例子引入

对于比较抽象的概念要有直观的感受，这样有助于抽象概念的形成和理解。事件信息量的概念是在1948年由信息论的创始人香农给出的，定义如下：

事件xi发生的概率为p(xi)，则事件xi的信息量定义为：

I(xi)=-logp(xi).

从心理学认知角度来讲，信息是有大小之分的，一个很少发生的事情突然发生时，给人的冲击是很大的，反之，经常发生的事情则给人的印象是很淡的。这点很容易理解。一个小概率事件的发生总是能引起轩然大波，人们总是津津乐道于小概率事件。比如地震、彩票中奖、在体育比赛中弱队战胜强队等等。用贴近生活的例子让学生感受到信息量的大小应该是概率的减函数，从而进一步为定义的构建奠定基础。

(二)用数学建模的思想构建数学知识

事件信息量的定义是信息论这门学科的基础，至于这个定义为什么是这样一种形式，教材中并未提及。而这个定义的给出是当时的重大创新工作。因此，引导学生挖掘该定义的产生过程，对培养学生的创新能力有着重要意义。

首先，信息量的大小应该是概率的减函数，满足单调性。还有一点也很直观，如果两个事件相互独立，那么它们的积事件所包含的信息量应该是各自所包含的信息量之和，这个性质称作可加性。建立数学模型是希望能找到一个关于概率的函数f(p(xi))，满足单调性、可加性、显然还应该满足非负性，为了数学上研究方便函数要满足连续性。基于单调性、可加性、非负性和连续性就可以建立数学模型[7-8]。

可加性描述为f(pij)=f(pi)+f(pj)令u=pij，则有f(u)=f(pi)+f(pj)将pj看成变量，则有：

即f′ (u)pi=f′(pj)

令pj=1则u=pi，带入上式有

f′(pi)pi=f′(1)=a

由信息量函数是其概率的递减函数

故f(pi)=alnpi+C.

又当pi=1时f(1)=0.故C=0。从而有

f(pi)=alnpi，a<0

f(pi)=-logbpi。其中b决定了信息量的单位。

这样，香农给的信息量的定义也就顺理成章地被推出来了。这个知识按照数学建模的思想被构建出来。

以上仅以事件信息量的定义为例阐述如何引导学生挖掘数学定义产生过程。另外，引导学生将知识点在应用领域进行提升也很重要。

(三)用科学研究的方式引导知识在应用领域的提升

科学研究能够在很大程度上促进教师职业水平的提升，一个教师在科学研究中反复使用过的知识再回到课堂上，这知识会比教材上鲜活很多。

信息理论基础课程中，对于离散型随机变量X，其概率分布如下

X的信息熵的定义为xi的自信息量的数学期望，即

信息熵是概率分布的函数，研究信息熵的大小问题是纯粹的数学问题，可以证明等概率分布的时候熵值最大，而且越接近等概率分布熵值就越大。所以信息熵这个概念可以刻画一个分布与等概率分布的接近程度。该度量工具可广泛应用于其他领域。比如在密码学领域在图像加密过程中对加密效果的评价，可以用信息熵来度量密文图像像素值的均匀分布程度，从而度量加密效果。在流密码的研究中，可以用信息熵度量密钥流的均匀性，从而能够从某种角度进一步判别随机性的好坏。

教师只有真正运用过课本知识解决过实际问题才知道在解决实际问题时怎么想到用这个知识解决，在运用知识的过程中又会遇到什么新问题，如何解决，是否需要新知识等等一系列问题，而这些能力是培养学生科学研究能力的关键。

比如在线性代数课程中，我们学习了线性方程组的解法，借助于数学软件解线性方程组的问题似乎得到了完美的解决，在实际问题中遇到解线性方程组的问题是不是就可以迎刃而解了呢？如果线性方程组的阶数比较低没有问题，一旦阶数大到一定程度，新的问题就出现了：系数矩阵太大，初等变换的方法每一步都要存储一个阶数巨大的矩阵，对计算机来讲是难以做到的。所以遇到超大阶数的线性方程组需要新的近似算法。

在应用领域提升知识点，这对教师实际科学研究经历要求较高。一个教师很难做到所讲的所有知识点都在实际研究工作中真正使用过。直接讲解知识相对容易，只有站得高才能真正灵活驾驭知识。

这两部分课堂上呈现知识点的产生过程和应用领域的提升要尽可能简短，课堂上的主要任务是提出一些具有启发性的问题，激发学生进一步研究的兴趣，布置开放性作业，将进一步的研究延伸到课外。

(四)用课外的开放性作业给予补充和延伸

开放性作业的内容基本上是无法落实在试卷上的研究性题目，成为提高学生综合素质、提高解决实际问题能力的有益补充。选择题目的时候要注意难易适中。比如概率论与数理统计课程的开放性作业可以选择如下题目：贝特朗悖论的内容；1933年概率的公理化定义给出之前有哪些数学家做过公理化的尝试，为什么失败了；正态分布的产生过程的研究等等。

开放性作业成绩所占总成绩的比例为10%～20%比较合适。太低不能充分调动学生投入的积极性，太高又很难做到十分公正地给出成绩。与10%的比例相比，20%的比例开放性作业质量有明显提升。开放性作业通常工作量比较大，比较适合几位同学组成小组，合作完成。同时，小组成员合作完成开放性作业的形式也有助于提高学生的团队合作能力。小组人数太多，容易出现任务不清、互相推卸等问题。笔者的经验是：小组人数不要超过3人。通常数学类的课程课堂人数比较多，开放性作业的反馈和交流是比较困难的一个环节，教师做不到与每组都有充分交流，很难全面了解组内的分工和组内成员的实际贡献。因此要求学生开放性作业的报告中写清楚组内各成员的分工情况，并要求组内的同学互相打分，作为教师给分的主要参考。

四、教学效果评价

(一)关于开放性作业的抽样调查结果

对2013—2014学年第一学期会计专业112位学生进行了抽样调查，共回收有效问卷96份，觉得开放性作业收获很大的占34.48%；收获较大占48.96%；收获一般的占15.62%；没什么收获的占1.04%。

(二)本讲台学生满意度分析

针对概率论与数理统计课程，笔者连续3年按照前面所述的教学理念和措施进行教学实践，面对不同专业、不同的讲台人数，选取不同的开放性作业比例(学生对教师打分情况见表1)。

表1　学生满意度及学生卷面成绩汇总表

(三)平行班成绩对比分析

由表1的结果可见，当讲台人数较少、相应的开放性作业小组人数也较少时，这种教学方式能够得到的学生的认可程度更高。对2013—2014第二学期管理学院的工管和工商专业的同学，本讲台卷面成绩远远低于全校平均分。而对2014—2015第一学期高等工程师学院机械和自动化专业的同学，本讲台卷面成绩远远高于全校平均分。首先不同专业的学生的数学基础及其对数学的学习兴趣差距还是很大的。所以，是否进行开放性作业的研究、开放性作业选题的难度要因材施教。从2014—2015第一学期机械和自动化专业的同学反馈结果看，本文提出的教学理念和措施更适合数学基础较好的小班教学。

五、 结论

本文针对数学类课程提出在创新型人才培养的需求下，在课堂教学中挖掘知识产生过程构建知识以及知识点在应用领域提升的重要性。从教学理念、教学措施、教学效果评价三个方面进行了阐述。经过三年教学实践，达到了比较满意的教学效果，尤其是小班授课，学生的满意度非常高，卷面成绩也远远高于全校平均分。本文提出的理念和方法可以在数学类课程，尤其是数学基础较好的小班课堂中推广使用。

参考文献：

[1]中共中央，国务院.国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)[EB/OL].(2010-07-29)[2015-04-20].

http：//news.xinhuanet.com/edu/2010- 07/29/c_12389320.

htm.

[2]钱学森.中国大学为何创新力不足[J].新华文摘，2010(2) ：113-114.

[3]徐兴沛，涂上飙.直面“钱学森之问”管见[J].高等理科教育，2010，94(6)：4-9.

[4]朱志伟.构建研究型大学本科创新人才培养体系的探索与实践[J].高等理科教育，2011，99(5)：99-102.

[5]韩旭里.问题驱动的数学教育观及其教学实践[J].高等理科教育，2014，114(4)：84-88.

[6]聂建英，王美清.数学创新型人才实验班培养模式探索与实践[J].高等理科教育，2014，116(2)：109-114.

[7]SHANNON C E，WEAVER W.A mathematical theory of communication[J].

Bell System Technical Journal，1949，27(3)：3-55.

[8]袁志发，宋世德.多元统计分析[M].2版.北京：科学出版社，2009：295.

(责任编辑李世萍)

收稿日期2015-05-14资助项目北京市人才培养共建项目、教育教学项目、教育教学改革项目(项目编号：GJ201415)；北京科技大学2013青年教学骨干人才项目(项目编号：06200016).

作者简介臧鸿雁(1973-)女，黑龙江黑河人，副教授，博士，主要从事混沌系统及混沌密码研究.

中图分类号G642.421

文献标识码A

A Study on the Ways of Innovative Talents Cultivation in Mathematic Curriculum

ZANGHong-yan

(School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing，100083，China)

Abstract：This paper aims at studying the mathematic curriculum，discussing the method of teaching to improve students' innovative ability from three aspects of teaching idea，teaching measures and teaching effects.Taking the event amount of information and the entropy of information in information theory basic course as an example，this paper explains how to construct the knowledge by using mathematical modeling thoughts and to gain improvements of knowledge applications in a scientific way in classroom teaching.In addition，opening tasks can be taken to cultivate students' innovative ability as a way of aid and extension.From the teaching result，this method is suitable for students who have better mathematics foundation，especially for the small class teaching.

Keywords：innovative talents training；amount of event information；knowledge construction；opening tasks