郭艺婉，翟发辉

(青岛科技大学数学系，山东 青岛 266061)



四元数矩阵的二次数值域

郭艺婉，翟发辉＊

(青岛科技大学数学系，山东 青岛 266061)

摘要：本文引入四元数矩阵的二次数值域的定义，并且讨论了四元数矩阵二次数值域的一些性质。在一定条件下，证明了四元数矩阵的左特征值集合是该四元数矩阵二次数值值域的子集。这些结果有助于四元数矩阵左特征值及相关问题的研究。

关键词：四元数矩阵；左特征值；二次数值域

1引言

自1844年Hamilton[1]发现了四元数，四元数的性质及应用的研究一直是数学、物理学等学科活跃的研究课题之一。四元数在经典力学、几何光学、复分析、拓扑学控制系统、图的计算以及基于四元数分析的量子力学的应用都成为这些学科主要研究分支之一。关于四元数和四元数矩阵更多结果及应用见参考文献[2]和[3]。

与实数域和复数域不同，四元数因子环的乘法运算不具有交换性，从而导致了定义在四元数上的线性代数理论与复数域上线性代数理论有许多差别。例如，不同于复数域矩阵特征值的定义和性质，四元数矩阵的特征值分左特征值和右特征值[4-5]，存在具有无限多个左特征值的有限阶四元数矩阵，四元数矩阵的左特征值不是相似不变的[4]等等。特别，在四元数的研究中，代数基本定理对四阶及四阶以上的四元数矩阵左特征值是否有效的问题仍是公开的具有挑战性的研究课题之一[4]。关于四元数矩阵与复矩阵有关结果的差异及四元数矩阵更多开放问题见文献[2]和[6]。……