包立平

(杭州电子科技大学理学院,浙江杭州310018)

一类奇摄动半线性时滞抛物型偏微分方程的渐近解

包立平

(杭州电子科技大学理学院,浙江杭州310018)

文中讨论了一类奇摄动时滞抛物型偏微分方程的初边值问题,得到了其形式渐近展开,证明了奇摄动半线性时滞偏微分方程的极大值原理,从而得到了最大值估计及相应的Schuader估计.在此基础上,得到了柱状区域上解的存在唯一性和渐近解的一致有效性.

奇摄动;半线性;时滞抛物型方程;渐近展开;Schuader估计;最大值原理;余项估计

§1 引 言

奇摄动时滞抛物型偏微分方程在各种学科的研究中得到了很大的应用.例如在种群动力学,传染病学等方面有重要应用;在随机微分方程的研究中也有重要价值.

近年来奇摄动时滞抛物型偏微分方程的研究得到了人们的重视,如A.R.Ansari,S.A.Bakr,G.I.Shishkin[1]研究了一类奇摄动时滞线性抛物型偏微分方程问题,得到了矩形域上的解的存在唯一性和一致有效渐近解.莫嘉琪[2]得到了小时滞的奇摄动抛物型偏微分方程的一致有效渐近解等.

本文研究如下一类奇摄动时滞抛物型偏微分方程的初边值问题

这里Ω∈Rn是有界凸区域,QT=Ω×[0,T],1＜T≤2,P1=∂Ω×[0,T],而Pb=Ω×[−1,0].

上述问题包含了如Hutchinson[3]方程等来源于不同研究邻域的多种问题,有重要的研究价值.

现在作如下假设:

[H1] 任取ξ∈

[H2]P1∈C2,

[H3] ψ(x,0)=ϕ(x,0),x∈ ∂Ω.

用分步法对(1)-(3)进行分析.在[0,1]上(1)-(3)可改写为:

设(4)-(6)的解为u1(x,t),则在[1,T]上(1)-(3)为:

§2 形式渐近展开式的构造

首先从(4)-(9)开始,构造(1)-(3)的形式渐近展开式.

设(4)-(6)的解为u1(x,t),而(7)-(9)的解为u2(x,t),则(1)-(3)的解为……