孔祥强

（菏泽学院 数学系，山东 菏泽 274015）

矩阵的半正定因子及次酉极因子的扰动界

孔祥强

（菏泽学院 数学系，山东 菏泽 274015）

在矩阵的扰动分析中，广义极分解和奇异值分解占有非常重要的地位。对矩阵进行广义极分解，得到半正定因子和次酉极因子。利用矩阵的奇异值分解和广义极分解，得到了范数意义下矩阵的半正定因子和次酉极因子的扰动界，且扰动界是以恒等式的形式给出。

半正定因子；次酉极因子；扰动；广义极分解

矩阵广义极分解中因子的扰动问题是矩阵扰动的重要研究对象。很多学者给出了半正定因子和次酉极因子的扰动界，见文［5］、［6］、［7］，这些扰动界都是以不等式的形式给出的。文章从矩阵分解的角度出发，给出了半正定因子及次酉极因子的等式形式的扰动界。

1 几个定义和引理

定义1［1］若矩阵A∈Cn×n，满足AHA=I，则称A为酉矩阵。

定义2［2］若矩阵A∈Cm×n，且满足Ax2=x2，则称A为次酉矩阵。

定义3［2］若矩阵A∈Cm×n，且有分解A=QH，若Q∈Cm×n为酉矩阵，H∈Cn×n为半正定矩阵，称该分解为矩阵A的极分解；若Q∈Cm×n为次酉矩阵，H∈Cn×n为半正定矩阵，称该分解为矩阵A的广义极分解。

定义4［3］设A=(a)∈Cm×n，令A=∑|a|2，称它为矩阵A的F-范数。令A=λ(AHA)，称它为矩阵A的2-范数或谱范数。

引理1［4］设矩阵A∈Cm×n，且A=QH，若满足条件R(QH)=R(H)，则A的广义极分解因子Q和H是唯一确定的。

2 主要结论

证明 A的奇异值分解为

其中

记T≜A-A，则

两边取共轭转置得

式（2）两边同时左乘N∼H1，右乘M1，得

式（1）两边同时左乘M∼H1，右乘N1，得

式（1）两边同时左乘M∼H1，右乘N2，得

式（1）两边同时左乘M2H，右乘N∼1，得

上式两边左乘M∼2H，右乘N1，得

由式（1）得

由式（5）知

由式（8）知……