齐艳秋

导数是高等数学一部分，为生产、生活及学术研究提供了方便快捷的途径。高中阶段导数要求较低，部分易错点未作特殊强调说明；例题简单，如果不做深入细致研究，肤浅认识与想当然的局限会对某些问题产生错觉与误解。

曲线的切线问题，是研究曲线性质的重要方面，也是高考常考内容。一部分人对曲线切线的内涵与性质往往把握不够准确，对解决这类问题的方法不明晰，从而对该问题产生感官和求解方法论的错误。

一、混淆“在一点处的切线”与“过一点的切线”

“在一点处的切线”是指以该点为切点的切线，该点一定在曲线上，切线只有一条。直接由在该点的导数值确定切线斜率，进而求出此切线方程。而“过一点的切线”，该点不一定是切点。只有确定了切点，才能利用导数法求斜率，再求切线方程，切线可能不唯一。

二、求过一点的曲线切线在方法论上的错误

这个问题的错误最为严重。人民大学主办的《高中数学教与学》2010年第1期，《关于曲线的切线问题的探索》一文，笔者认为“已知一点，求过该点的曲线切线时，先判断这个点是否在曲线上：若不在曲线上，设出切点坐标；若在曲线上，就直接用导数法求出该点的切线斜率。”并以两道例题及变式为例加以说明。在多年教学实践中，发现部分教师、各类习题材料，犯此错误比比皆是。事实上即使给定的点在曲线上，该点也不一定是切点，要分该点是切点和不是切点两种情况求解。……