李翠英

下面就是我对北师大版九年级数学（下）习题2.4 第3题的练习题，谈谈课本练习题的演变与探究。

一、原题回放

例1 如图1，AD是 的高，点G、H在BC边上，点E在

AB边上，点F在AC边上，BC=10cm，AD=8cm，四边形EFGH是面

积为15cm2的矩形，求这个矩形的长和宽？

二、原題演变与探究

演变1 内接矩形变为固定内接正方形

例1 如图2，四边形EFGH是 内接正方形， BC=27cm，AD=21cm，

求这个正方形的边长？

探究：利用相似三角形的对应高之比等于相似比是解决例1和例2的关键。

演变2 内接正方形变为动态内接矩形

例2 如图3，已知△ABC中，BC=120，高AD=80，矩形PQMN

的顶点P、N分别在AB、AC上，M、Q在BC上，AD与PN交于

点E，请问矩形PQMN的面积什么时候最大，最大面积是多少？

探究：本题将相似三角形的性质和二次函数有机结合，形的最值

问题转化成数的最值问题，体现了数学建模的思想。

演变3 三角形变等腰三角形（课本习题）

例3 如下图，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=12，设EF=x， ，写出y关于x的函数关系式，并画出相应的函数图象，根据这三种表示方式回答下列问题：

（1）自变量x的取值范围是什么？（2）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？

（3）如何描述y随x 的变化而变化的情况？

（4）若高80，请问矩形PQMN的面积什么时候最大？最大面积是多少？

演变4 矩形变为动态正方形

（1） 中边 上高______；

（2）当______时， 恰好落在边 上（如图3）；

（3）当 在 外部时（如图4），求 关于 的函数关系式，并求出 为何值时 最大，最大值是多少？

探究 虽然正方形在运动，但其问题的本质仍然是相似三角形的性质与二次函数的有机结合，运动中也有“静止不变”的一面。

演变5 △ABC变为直角三角形

例5 （课本例题）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，