蔡俊浩 李洛勤 李继昌 周益辉

摘 要：针对太阳影子定位技术，本文主要解决三个问题。（1）根据太阳照射下直桿成影的原理以及直杆影子随着时间的变化规律，建立太阳点、时间和影子端点坐标的空间模型，求出直杆影子长度随时间的变化规律。（2）根据两个不等长的直杆在同一位置任意时间影子的长度之比为一恒定值这一原理求出该直杆所在的地点。（3）根据步骤2的原理以及一天中直杆影子长度的变化确定直杆所处的地点和日期。

关键词：天体模型；经纬度；影子轨迹

在视频数据分析中，如何来确定视频的拍摄地点和拍摄日期是一个重要的分析方面，而其中一种重要技术就是利用太阳影子定位技术分析视频中的问题的太阳影子变化。

1 直杆影子长度变化

在太阳的照射下，一天中直杆的影子的位置不是固定不变的，影子的位置会随太阳的位置变化发生变化。若假设某一天当中的某一个时刻的太阳位置如图1 所示，设直杆垂直于地面上的高度为H，太阳光线平行通过直杆顶端P点时在地面上形成的影子点为，且所形成的影子的长度为L，，则可得到：

在每一天中地球自转一周是360°，每1h自转的度数为15°， 且这个角度称为时角（）。由于随着地球的自转及绕太阳公转的不断进行，太阳位置也随着时间在不断地发生变化 。因此，可以获得不同时间点直杆顶端的落影点，并且由求出的各个时间点下的不同的直杆顶端落影点点形成一天中直杆顶端落影点的轨迹线。

2 基于相似三角形定理的影子地点确定

设定在同一地点有另外一个直杆，高度为，

而真实的直杆的高度为，设，为直杆之间的比例系数，根据相似三角形定理，我们可以得到，，因此可以得到

由上式看出，在同一日期同一地点，即使不同时刻不同长度的直杆的影子长度不同，他们之间的长度比值相同，而且比值是一个定值。

假设已知日期和直杆长度和某未知地点下一段时间的影子坐标的数据，根据此数据和上述分析，我们可以知道该地点在当天也有特定的比例系数。现在我们设定了一个网格坐标，坐标变量为经纬度，假设已经知道某个具体的经纬度，则可以通过上述模型求出在相同时间段下影子的长度变化，和附录中给出的影子长度求比值。

式中，为各个比例系数的差分平方和，如果平方和值越小，则代表着误差越小，说明该点越接近所在地点。如果误差接近为0，则该点可以近似作为所求的地点。

3 基于相似三角形定理的地点和时间确定

由于日期未知，因此对于赤纬角而言也是一个未知量，因此可以再次考虑使用步骤二进行365次迭代，每次迭代带入不同日期代表的赤纬角，通过遍历之后找出当天的局部最优解，再从365天中再找出全局最优解，最后得到的天数和经纬度即为可能的地点和日期。由于模型的建立与步骤二的内容几乎一样，所以与步骤二的模型相同的内容则不再重复。模型的不同点如下：

其中day为一年365天中的第day天。

4 实验结果

本次试验采用2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题题目中提供的数据进行模型的验证。

4.1 直杆影子长度变化

题目给出的经度为东经116°23′29″，而所参照的时间为北京时间（东经120度所对应的时间），在时间上有所差异，所以需要修正北京时间带来的差异，具体应对时角公式进行如下修正：

其中为北京时间对应的经度，对应当前地点对应的经度，4代表着每经过一个经度相差4min。

由题目的数据可以得到赤纬角（10月22日）， ，将9点到15点的时间数据带进上模型可以得到3m高的直杆的太阳影子长度的变化曲线如下图：

4.2 基于相似三角形定理的影子地点确定

通过观察数据可以得到该时间段影子的长度呈递增现象，因此首先对数据中的影子长度求差分，得到影子在不同时刻的变化率，再通过曲线的多项式拟合可以初步的得到变化率为0时的点，该点既可以认为是当地时间12点时所对应的点，由此可以通过地理知识在该点时间与北京时间的差异上求出大概的经度位置。

经过上面经度的预处理我们以107.4375为核心左右20度进行搜索，得到如下误差曲线：

求得最优位置的经纬度为：东经108.8000，北纬19.2000，误差平方和error=3.66942e-08，可以近似为0；经查阅地图，该点为中国海南省的某个位置。

参考文献

[1]郑鹏飞，林大钧，刘小羊，等.基于影子轨迹线反求采光效果的技术研究[J]. 华东理工大学学报（自然科学版），2010，（3）：458-463.

[2]蒋洪力.太阳直射点纬度的数学推导和分析[J].数学通报，2007，（9）：39-40.

[3]肖智勇，刘宇翔.一种新的纬度测量方法[J].大学物理，2010，（9）：51-54.

（作者单位：华南师范大学物理与电信工程学院）