吴德宇 苗鹏

【摘要】 本文研究影子坐标与地理位置和时间的关系.需要在明确影子端点坐标等条件，或者仅知道影子坐标的情况下来确定影子长度变化曲线并预测杆所在地理位置与日期.

【关键词】 影长 经纬度 轨迹 非线性优化模型

一 问题重述

1.1问题背景及分析

当今社会，如何通过一段视频就可以判断出视频拍摄的时间和地点，是一个热点问题，大多采用太阳影子定位技术。太阳影子定位，是通过图片处理技术与地理信息技术合二为一的技术。即通过分析视频中物体的太阳影子变化情况来确定拍摄视频的日期和地点.因此本文要来研究如下问题：已知长度d的直杆，放在给定地点（明确经纬度），通过建立模型来确定影子长度在某一天某一段时间内的变化轨迹。

二、模型假设

假设1：测量处的地面平整，直杆所形成的影子是一条直线；

假设2：不考虑大气的温度、湿度、小颗粒浮尘等原因所造成的光的折射、反射等情况；

假设3：太阳高度角与时间成一定的函数关系；

假设4：假设参考文献[5]中的时差与日期的数据能应用于本模型的求解；

假设5：假设所给影子的数据真实可靠、且都能应用于本模型的求解。

三、问题分析

问题是已知杆的长度，求特定地点在特定日期特定时间段影子长度轨迹，也就是已知杆长、地点（经纬度）、日期、时间来求影长的问题。

四、符号说明

五、问题一的求解

5.1 模型建立

方案1：考虑太阳高度角θ与时间t成正比关系

假设某地某天太阳日出时间为Trc，此时太阳高度角为0°，太阳日落时间为Trl，可得太阳从日出到日落总时间TZ为TZ= Trl-Trc.根据图5.1可计算某地的最大太阳高度角θmax，即：

由此可根据假设构建以下数学模型一：

其中：？是观测地点纬度、β是太阳直射点纬度、d是杆长、F（t）是一个连续函数、L是影子长度、t是时刻。

问题一要求10月22日在北京天安门一根长3米的杆在9点到13点间影长的轨迹.本节按照下面步骤求解：

第一步：查文献[1]得10月22日北京太阳日出时间Trc为6：33，太阳日落时间Trl为17：25，由TZ= Trl-Trc可得太阳从日出到日落总时间TZ为652分钟。

第三步：求连续函数F（t）

由所求上午9点时刻与Trc相差147分钟；下午13点时刻与Trc相差507分钟从而所经历的时间范围是[147，507]，综上可得：

5.2 结果分析

运用模型一和模型二分别求得最长影子、最短影子及影子最短时刻见表5.1.

根据东经120度太阳高度角最大时间为北京时间12点，可知北京天安门（东经116度23分29秒）太阳高度角最大时必然要在12点之后，从而可得模型一、二计算结果都是合理的.而模型二考虑的更加全面，故其结果更加精确一些，但其计算比较麻烦。模型一计算简单，在粗略计算过程中存在一些误差也是可以接受的。

六、小结

在该问题中，我们分析了影响影长的因素，并给出了两种模型.模型一在假设太阳高度角θ与时间成正比关系的情况下，结合太阳光线投影定律和杆长，找出影长与时间的关系。模型二在已知太阳高度角θ、太阳赤纬角σ、 观测地理纬度？、 地方时角δ之间关系的基础上建立模型。结合这两种模型，对比两种模型的影长曲线，结果在误差许可的范围内。模型一、二可适用于求解某一日期任意地点任意时间时已知物体的影长，具有普遍适用性，且可应用于工程计算和野外求生等。

参 考 文 献

[1]老任，北京地区日出日落时间与太阳升起的方向，http：//blog.sina.com.cn/s/bloghttp： //blog_5396b9c501017mcm.html，2015-9-11.

[2]http：//zhidao.baidu.com/link？url=4h8vnYs8EcfyTQgMWatzrIPJKyZHbgA_Xz4YwIkfgX1FnuFJcXswXjdg0kRPhxf0M3HCDb2FffQb7VT1 KS1Go5deHC0S4NxaakPnTY0t4Ju，2015-9-11.

[3]王国安等，太阳高度和日出日落时刻太阳方位角一年变化范围的计算，气象与环境科学，第30卷，163，Sep.2007.

[4]http：//baike.baidu.com/link？url=QgIPRTd8cRkGpyN5eVTgToIgEssL-ApwHs04fRih3tFxe4nblpf6iQ3zml_gz59zfCjMyfIChVg13Ro6_ lZnca，2015-09-1.