何松年，刘宏智

（中国民航大学理学院，天津　300300）



Lipschitz连续强单调逆变分不等式的迭代算法

何松年，刘宏智

（中国民航大学理学院，天津300300）

摘要：假设H是一个实的Hilbert空间，C是H的一个非空闭凸子集，f：H→H是一Lipschitz连续强单调算子。考虑逆变分不等式（简记为IVI（C，f））：即寻求ξ∈H满足f（ξ）∈C，〈ξ，v - f（ξ）〉≥0，∀v∈C。证明了IVI（C，f）解的一个存在唯一性定理，给出了解的两个迭代算法，改进了以往的相关结果。

关键词：逆变分不等式；强单调；不动点；迭代算法

假设H是一个实Hilbert空间，〈·，·〉和‖·‖分别表示H的内积和范数，又设C是H的一个非空闭凸子集，F：C→H是一个映像。变分不等式VI（C，F）是寻求u∈C使得〈F（u），v-u〉≥0，∀v∈C。变分不等式解的迭代算法已获得充分的研究，并且广泛应用于工程计算、经济均衡和交通网络等诸多领域。

设f：H→H是一映像，C⊂H是一非空闭凸子集，逆变分不等式IVI（C，f）的提法是：寻求ξ∈H，使得f（ξ）∈C且〈ξ，v - f（ξ）〉≥0，∀v∈C。若f：H→H是一一对应，则其逆映像f-1：H→H存在，记f（ξ）= u，则ξ= f-1（u），显然ξ是IVI（C，f）的解当且仅当u是变分不等式VI（C，f-1）的解，逆变分不等式由此得名。

逆变分不等式广泛地应用于交通网络中的控制理论、交通网络、管理科学问题中。近年来何炳生等［1-2］给出了一些关于系统控制问题中单调的逆变分不等式的迭代算法和经济生活问题中的逆变分不等式的算法。本文是对Luo［3-4］相关结果的一种改进。

本文研究包括如下3部分：首先列出本文用到的记号和引理；其次证明逆变分不等式解的一个存在唯一性定理；最后给出逆变分不等式解的迭代算法。

1　预备知识

本文恒设H是一个实Hilbert空间，〈·，·〉和‖·‖分别表示H的内积和范数，用到如下记号：