孙兰香（沧州师范学院数学与统计学院，河北沧州061001）



存在奇点的一维高阶奇异积分

孙兰香
（沧州师范学院数学与统计学院，河北沧州061001）

摘要：文章研究实数域中奇异积分的主值问题。这是基于数学分析中对广义积分的研究作的进一步深入探讨的工作。文中定义了一维奇异积分的Cauchy主值与Hadamard主值并给出了相应的公式。

关键词：高阶奇异积分；Cauchy主值；Hadamard主值

Keywords:higher order singular integral；Cauchy principle value；Hadamard principle value

在复分析中有对复平面上奇异积分的主值研究，在实数域中也存在积分问题的研究，对收敛的广义积分可以求得其积分值，而发散的广义积分不存在积分值。这里便出现了值得探讨的新问题，即研究发散的广义积分的主值问题。

定义1设f（x）定义于（a，b）上，当c∊（a，b）时，称为Cauchy型积分，只要此积分存在。

定义2（Hölder条件）设f（x）定义于（a，b）上，若存在常数A，使得对于任意的两点x1，x2∊（a，b），恒有（0

定理1（一阶奇异积分的柯西主值存在的充分条件）若f（x）∊Ca（a，b），c（a，b），则存在，且

证明：因为

上式右端第二项与第四项之和为：

而右端的第一项与第三项可以如下证明其存在：因为f（x）∊Ca（a，b），由Hölder条件，

知

当ɛ→0+时是与ɛ无关的常数，而

此极限一般不存在。

定义3设f（x）∊C1，a（a，b），则二阶奇异积分的 Hadamard主值为

定理2：设f（x）∊C1，a（a，b）（表示f（x）与f（n-1）（x）在（a，b）上都满足Hölder条件），c∊（a，b），则高阶奇异积分的Hadamard主值为：

我们还可以将奇点位于区间内部的高阶奇异积分的Hadamard主值继续推广，讨论奇点位于区间边界处的奇异积分的Hadamard主值。

上式中的第一项极限存在，第二项为常数。但第三项可能不存在。可见单边一阶奇异积分的柯西主值不一定存在，我们删去引起积分发散的项，即可得到一阶单边积分的Hadamard主值。……