虞　懿　　　　　　　　　　　吴微庆

(浙江省金华市第六中学，321000)　(浙江省金华广播电视大学(浙江商贸学校)，321000)



○高考之窗○

探析几何关系代数化的有效策略
——以2015年高考全国卷Ⅰ理科第20题为例

虞懿吴微庆

(浙江省金华市第六中学，321000)(浙江省金华广播电视大学(浙江商贸学校)，321000)

解析几何的核心方法是用代数的方法研究图形的几何性质,核心思想是“数形结合”.2015年高考全国卷Ⅰ理科第20题,保持了全国卷背景熟悉、入口宽泛、解法多样的一贯风格,细细品读深感底蕴纯厚,紧扣解析几何的思想精髓.本文从解决解析几何问题的核心方法思想出发,探析该题第(2)问的解法.

一、试题展现

(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;

(2) y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

二、解法探析

对于第(2)问有以下几种求解策略.

策略1选择恰当形式,实现几何关系的代数表示

几何关系代数化是解决解析几何问题的关键.在本题中的几何关系是∠OPM=∠OPN,用什么样的代数关系来表示这个几何关系?对于直线与坐标轴所成角的问题,很自然地想到直线的倾斜角.解析几何中描述倾斜角的代数形式就是斜率,由此想到用斜率表示几何关系“∠OPM=∠OPN”,进而求出点P的坐标.

解法1设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.

将y=kx+a代入C的方程，得

x2-4kx-4a=0，

故x1+x2=4k,x1x2=-4a，

当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补.

故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.

设直线PM,PN的斜率分别为k1,k2，当k≠0时,有x1+x2≠0,于是

当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故

∠OPM=∠OPN；

当k=0时,若b=-a,亦使得∠OPM=∠OPN.

综上,点P(0,-a)符合题意……