王　艳

(宁夏银川市第二十四中学,750021)



例析正、余弦定理在解三角形中的应用

王艳

(宁夏银川市第二十四中学,750021)

正、余弦定理是学习有关三角知识的继续和发展,它深入揭示了三角形边与角之间的关系,在各个方面有着广泛的应用.现将其在解三角形中的综合应用例析如下,望读者能更全面地理解该思想,从而灵活掌握相关技巧．

一、用正弦定理解三角形

思路本题由正弦定理出发,将边化为角,再结合三角恒等变换来解决．

解∵a+c=2b,

∴sinA+sinC=2sinB,

(*)

∴(*)式即为

评注处理边角混合问题一定要注意确定解的个数,做到准确无误．

∴sinBcosB=sinAcosA,

∴sin2A=sin2B,

∴2A=2B或2A+2B=π,

得9k2+16k2=102,

解得k=2,a=6,b=8．

评注本题也考察正弦定理的灵活应用,但要注意sin2A=sin2B⟹2A=2B或2A+2B=π这一结论的准确运用．

二、用余弦定理解三角形

例3在∆ABC中,A最大,C最小,且A=2C,a+c=2b,求此三角形三边之比.

解由正弦定理，得

由余弦定理，有

而a+c=2b，

整理得2a2-5ac+3c2=0，

∵A=2C,∴a=c不成立，

故此三角形三边之比为6∶5∶4．

评注对于余弦定理要牢记各种表示形式.

三、判断三角形的形状及证明恒等式

例4在∆ABC中， 若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,试判断三角形的形状.

思路本题可用两种不同的方法来处理,最终殊途同归．

解法1由正弦定理，得

其中R为∆ABC外接圆的半径，于是有

8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC．

又∵sinBsinC≠0,

∴sinBsinC=cosBcosC,

∴cos(B+C)=0, 从而B+C=90°，所以∆ABC为直角三角形．

解法2将已知等式变形为

b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)

=2bccosBcosC．

于是由余弦定理，得

化简得b2+c2

∴b2+c2=a2,

所以∆ABC为直角三角形.

评注不管选用哪种方法作出发点，都要注意正确运用相关公式.

例5已知A,B,C为∆ABC的三个内角, 并且(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB. 求证:A+B=120°．

思路由于A+B+C=180°,所以可以将问题转化为证明C=60°． 观察已知条件为三角函数关系,因此应该考虑向三角函数方向……