张艳宗　马喜君

(浙江省海盐元济高级中学,314300)



一道高考题求解视角探索

张艳宗马喜君

(浙江省海盐元济高级中学,314300)

一、试题呈现

(2015年浙江高考题)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为______.

二、试题解析

这是2015年浙江省高考数学理科卷的第14题,问题要求的是在约束条件(实数x,y满足x2+y2≤1)下,以x,y为变量的二元函数(|2x+y-2|+|6-x-3y|)的最小值.问题将绝对值和函数最值问题结合起来,题干新颖,表述简洁,背景深刻,命题方法不落俗套.由于此题涉及二元函数的最值,且又有绝对值做“伪装”,很多学生考后反映求解此题时无从下手,而且平时老师所教的求函数最值的方法在考场上又用不上,因此,此题成为了学生高考中的一只“拦路虎”.那么这个试题到底难在何处?如何突破?我们通过分析试题的特点,探索了求解这个问题的四个视角,希望给教师的教和学生的学带来有益的启发.

三、试题解决的视角

为了行文方便,设F=|2x+y-2|+|6-x-3y|.

方法1如图1,直线l:2x+y-2=0将单位圆面x2+y2≤1分为两部分:

(1)当2x+y-2>0时,F=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4,问题转化为求目标函数z=x-2y+4在阴影区域及其边界上的最小值.由线性规划知识可求得F>3.

评注这种解法的最初想法在于去掉绝对值,而这是碰到绝对值问题时最容易想到的一种思考方法,思路比较自然.如果我们注意到这种解法中等号成立的条件,那么我们还可以有下面更简单的解法.

评注这种解法之所以成功的前提在于我们知道F取最小值时,点(x,y)必在直线2x+y-2=0上.

2.不等式视角

分析最值问题尤其是含绝对值的最值问题通常可……