敖德兵

(四川省成都市北京师范大学成都实验中学，610017)



联想求导法则构造函数解题
——由2015年两道高考题想到的

敖德兵

(四川省成都市北京师范大学成都实验中学，610017)

联想是由当前感知或思考的事物想起有关的另一事物,或者由头脑中想起的一件事物,又引起想到另一件事物.由于客观事物是相互联系的,各种知识也是相互联系的,因而在思维中,联想是一种基本的思维形式.因此,在解题过程中,要善于观察题设条件与所求结论的结构特征,分析题设与结论之间的联系,联想题目与已有知识结构的相似性.本文结合导数运算法则,举例说明之.

一、联想函数和、差的求导法则构造函数

例1(2015年福建高考题)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f ′(x)满足f ′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是()

分析联系条件与结论之间的结构特征的关系,可利用和、差函数的求导法则构造函数,从而达到求解的目的.

解由已知，导函数f ′(x)满足f ′(x)>k>1,构造函数

g(x)=f(x)-kx,

则 g′(x)=f ′(x)-k>0,

所以g(x)在R上单调递增,且

g(0)=f(0)-k·0=-1.

所以选项C一定错.故选C.

变式1(2011年辽宁高考题)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f ′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为 ()

(A) (-1,1)(B) (-1,+∞)

(C) (-∞,-1)(D) (-∞,+∞)

解导函数f ′(x)的正负决定着函数的单调性,由f ′(x)>2联系到结论中的f(x)>2x+4,则问题豁然开朗.构造函数g(x)=f(x)-2x-4,则f(x)>2x+4等价于g(x)>0.由f ′(x)>2，得g′(x)=f ′(x)-2>0,即函数g(x)在(-∞,+∞)单调递增,又f(-1)=2,所以g(-1)=f(-1)+2-4=0.综上，f(x)>2x+4等价于g(x)>g(-1),所以x>-1.故选B.

(A) (-1,1)

(B)(-∞,-1)

(C) (-∞,-1)∪(1,+∞)

(D) (1,+∞)

解构造F(x)=2f(x)-x-1,则F′(x)=2f ′(x)-1<0,所以F(x)为R上的减函数.又因为F(1)=2f(1)-1-1=0,2f(x)1,选D.

二、联想积函数的求导法则构造函数

例2(2004年湖南高考题)设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为()

(A) (-3,0)∪(3,+∞)

(B) (-3,0)∪(0,3)

(C) (-∞,-3)∪(3,+∞)

(D) (-∞,-3)∪(0,3)

解由f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0联想到[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,所以F(x)=f(x)g(x)在(-∞,0)上为增函数.又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以F(x……