何胜鑫，朱建青，张 毅

(1. 苏州科技学院数理学院，江苏 苏州 215009；2．苏州科技学院土木工程学院，江苏 苏州 215009)

基于分数阶模型的非保守系统的Noether准对称性*

何胜鑫1，朱建青1，张 毅2

(1. 苏州科技学院数理学院，江苏 苏州 215009；2．苏州科技学院土木工程学院，江苏 苏州 215009)

提出并研究了非保守力学系统的分数阶Noether对称性及其守恒量。基于非保守系统的Hamilton原理，导出了分数阶模型下非保守系统的运动微分方程；根据分数阶Hamilton作用量在时间，广义坐标和广义速度的无限小群变换下的不变性，给出了非保守力学系统的分数阶Noether准对称性的定义和判据，建立了分数阶Noether准对称性与守恒量之间的联系，得到了分数阶Noether守恒量；最后，讨论了不存在非势广义力或规范函数等于零的特例，并举例说明结果的应用。

分数阶模型；非保守系统；Noether准对称性；守恒量

1 分数阶微积分的定义和相关性质

在这一节中，我们列出了文中将涉及到的Riemann-Liouville分数阶导数的定义和相关性质。详细的讨论和证明，可参考文献[2-3]。

(1)

(2)

其中Γ(*)是欧拉伽马函数，n∈N，n-1≤α

(3)

分数阶分部积分公式为[14]

(4)

(5)

2 分数阶运动微分方程

我们考虑由n个广义坐标qs(s=1,2,…,n)来确定的动力学系统。非保守系统的Hamilton原理为[21]

(6)

其中L为Lagrange函数，Q″s为非势广义力。考虑系统的Lagrange函数为

(7)

非势广义力为

(8)

则原理(6)可写为

(9)

考虑到公式(4)和(5)，有

(10)

将(10)代入(9)式中，得到

(11)

考虑积分区间的任意性以及δqs的独立性，得到

(12)

方程(12)可称为分数阶模型下非保守系统的运动微分方程。如果非势广义力Q″s=0，则方程(12)变为

(13)

方程(13)为分数阶Lagrange方程。……