史娟荣，陈贤峰，莫嘉琪

(1. 安徽机电技术学院，安徽 芜湖 241002；2. 上海交通大学数学系，上海 200240；3. 安徽师范大学数学系，安徽 芜湖 241003)

非线性奇摄动反应扩散问题的广义渐近解*

史娟荣1,2，陈贤峰2，莫嘉琪3

(1. 安徽机电技术学院，安徽 芜湖 241002；2. 上海交通大学数学系，上海 200240；3. 安徽师范大学数学系，安徽 芜湖 241003)

研究了具有内部激波的非线性反应扩散方程奇摄动广义初始边值问题。在适当的条件下， 讨论了退化问题的广义外部解并引入伸长变量，构造了原问题具有内部激波和初始层校正项的广义解的形式渐近展开式。最后，利用泛函分析不动点理论得到了原初始边值问题广义解的存在性和一致有效的内部激波广义渐近解。

非线性；激波；渐近解

非线性奇异摄动激波问题是目前在数学界十分重视的一个课题[1-2]。近来许多学者的研究中涉及到这一方面的工作[3-7]。作者等也讨论了一类奇摄动非线性激波、孤立子、冲击层等问题[8-22]。本文用特殊的方法来考虑一类广义反应扩散奇摄动激波问题。

考虑如下问题：

εut-uxx=f(t,x,u),

(t,x)∈(0,T0)×(-1,1)

(1)

u=g(t,x),x∈±1

(2)

u=h(x),t=0

(3)

其中ε为正的小参数，T0为一个足够大的正常数。

假设：

[H1]f除了在x0∈(-1,1)以外和g,h关于其自变量在对应的区域内为充分光滑的函数，g(0,x)=h(x),x∈(-1,1)；

[H2] 存在常数δ>0，使得

代替问题(1)-(3)，我们考虑如下广义反应扩散初始边值问题：

(4)

(5)

(6)

其中

我们还假设:

[H3]退化问题

有一个广义解U0(t,x)，但在x0∈(-1,1)处

1 外部解

设问题(4)-(6)的广义外部解U为

(7)

将(7)式代入(4)式, (5)式, 按ε展开非线性项，合并ε的同次幂项，并令其系数为零。对于εi,i=0,1,…，可得

B1[φ,U0]=-(φ,f(t,x,U0)),

(t,x)∈(0,T0)×(0,1)),

(8)

(φ,U0)=(φ,g(t,x)),x=±1,

(9)

B1[φ,Ui]=-(φ,fu(t,x,U0)Ui+Fi)-(φ,DUi-1),

(t,x)∈(0,T0)×(-1,1),

i=1,2,…

(10)

(φ,Ui)=0,x=±1,

(11)

其中Fi(i=1,2,…)为依次已知的函数，其结构从略。