陈传勇

(仲恺农业工程学院计算科学学院，广东 广州 510225)

END序列的完全收敛性：任意阶矩存在的情形*

陈传勇

(仲恺农业工程学院计算科学学院，广东 广州 510225)

对随机变量部分和的尾概率估计问题一直是概率论与数理统计中一个重要课题。在任意阶矩存在但矩母函数不存在条件下，利用截尾技术及指数不等式，获得了同分布END序列的完全收敛性，推广并改进了Gut和Stadtmuller得到的有关结果。

END序列；完全收敛性

设{X,Xn,n≥1}是独立同分布的随机变量序列，如果

(1)

1947年Hsu和Robbins证明了下面著名的完全收敛性结果

(2)

并且(1)式还是(2)式成立的必要条件。1965年Baum和Katz推广了这一结果。下面是Baum和Katz结果的特殊形式。

(3)

在指数阶存在的条件下，Lanzinger[1]获得了如下的结果。

(4)

最近Gut等[2]获得了介于定理1与定理2之间的结果。

定理3 假设α>1，而且{X,Xn,n≥1}是独立同分布的随机变量序列，若EX=0以及Eexp{(log|X|)α}<∞，则

(5)

此外及后文，均设logx=max{1,lnx}，其中lnx是自然对数，反之，如果(5)式对某ε>0成立，则对任意δ>0有Eexp{(1-δ)(log|X|α}<∞。

定理1-3深刻提示了收敛速度与矩之间的关系，因此将这些结果推广到非独立情形是有意义的。本文的目的就是把定理3推广到END随机变量序列情形，不但如此，还将得到比(5)式更精细的结果。

1 概念及主要结果

我们先来介绍有关概念。

定义1 称随机变量序列{Xn,n≥1}是END(extendednegativelydependent)的，如果存在常数M>0，使对任意n≥2，任意实数x1,x2,…,xn有

及

其中，称常数M为控制常数。

END这一概论是由Liu[4]引入的，当控制常数M=1时，END随机变量序列就成为了众所周知的NOD(negativelyorthantdepedent)随机变量序列，NOD是由Lehmann引入的，并对其性质作了一系列的探讨。后来，Liu[5]又指出END是真包含NOD的，即存在一种END序列不是NOD的。到目前为……