陈 伟，蔡占川

(1. 江南大学数字媒体学院, 江苏 无锡 214122；2. 澳门科技大学资讯科技学院, 澳门)

高次Haar函数的推广*

陈 伟1，蔡占川2

(1. 江南大学数字媒体学院, 江苏 无锡 214122；2. 澳门科技大学资讯科技学院, 澳门)

k次V-系统是一类正交分段多项式函数系,Haar函数是当k=0时的情形, 因而又称为高次Haar函数。V-系统定义在区间[0,1]上的均匀剖分上, 经过对所谓“生成元函数”进行2n倍压缩及平移得到。提出了一种正交非均匀分段多项式函数系的构造方法, 称之为高次非均匀Haar函数系。对于任意给定的区间[0,1]上的非均匀层次嵌套剖分, 首先定义一组截断单项式，并证明了对这组截断单项式系进行Gram-Schmidt过程, 结果便是相应的高次非均匀Haar函数, 原来的V-系统只是高次非均匀Haar函数系的特殊情形。证明了该函数系的正交性, 再生性及收敛性, 并给出了一个具体构造实例。

V-系统；Haar函数；非均匀；Gram-Schmidt

正交变换在信号逼近、 压缩、 特征提取等领域具有广泛的应用, 它的数学基础便是正交函数系[1-3]。在众所周知的Fourier三角函数系以及诸多正交多项式系中, 每一个基函数不仅是连续的, 而且具有任意阶的连续导数。 历史上, 为了回答“是否存在非连续的完备正交函数系”这样的反问, 匈牙利数学家Haar构造了后人称呼的“Haar函数”。如果不考虑规范系数, Haar函数仅取值+1,-1或0, 因此可以看作是一类正交零次分段多项式函数系。当小波分析兴起后,Haar函数成为小波变换中典型的波函数代表[1]。

2007年, 国内学者宋瑞霞等[4]构造了一类L2[0,1]上的完备正交分段多项式函数系, 称为k(k=0,1,2,…)次V-系统,V-系统是一类有限区间上的正交多小波[5],Haar函数是k=0时的特殊情形, 因此V-系统又称为高次Haar函数[6]。……