吴治平

探究性学习亦称发现学习，是学生在学习情境中通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流、检验的学习方式。

一、探究性问题的引出

数学探究性教学不是将结论直接告诉学生，而是让学生通过各式各样的探究活动，诸如观察、实验、调查、收集资料、猜想、论证等，自己得出结论，使他们参与并体验数学知识的获得过程，建构起对数学的新的认识，并培养数学的探究意识。教师抓住其这一特点，可以设计相应的问题给学生进行探究。

笔者在“双曲线的图像与性质习题课”中设计了下面一道习题：

习题：过点的直线与曲线

x-4y=4只有一个交点，则这条直线的斜率是（）。

（A）或- （B）或-

（C） （D）

大多数学生采用了下面的方法进行：画出本题的简图，容易观察出这条直线的斜率是存在的，所以可设此直线方程为y=k（x-4）+1，它与双曲线方程x-4y=4联立，消去y，得关于x的一元二次方程，再令这个一元二次方程的根的判别式？驻=0，可得答案。显然这种解题方法是可行的，但是设计本题的目的是让学生利用双曲线的渐近线性质进行迅速解答。

这个时候，不少教师看到学生采用这种“计算复杂”的方法，可能就会直接提示——可用双曲线的渐近线性质解答。如果这样，那学生就失去了一次非常好的探究学习的机会。

笔者的操作如下：第一步，利用“几何画板画”画好的图形（如图），让直线绕点A旋转一周，要求学生观察直线与双曲线的交点个数情况——重点观察过A且与渐近线平行的直线与双曲线的交点个数情况（通过借助图像，让学生讨论为何这种情况只有一个），由于渐近线的斜率是±，所以很快就有答案B.第二步，通过改变点A的位置，引导学生从本题出发还能提出什么问题。

在此过程中，学生主动提出了不少问题，主要集中在三个方面：

问题1：如何判断点A在双曲线的“内部”还是“外部”呢？

问题2：如果此题不是选择题，所求直线斜率除了±外还有其他吗？

问题3：若点A在双曲线上或外面时，过点A的直线的斜率与此直线与双曲线的交点个数有何关系呢？

这些问题都是由学生自己提出来的，教材上也没有涉及这些内容，不仅学生感兴趣，而且具有一定的研究价值，这样，教师所需要的探究问题也就自然得到了。

要找到探究的问题，教师必须拥有丰富的备课资料，对问题有全局的把握，并且要对习题进行合理设计和对学生解题过程中可能出现的问题进行大胆推测。

二、探究性问题的处理

要比较完整地解决探究性的问题，通常都得花费较多的时间。因为这一特点，不少教师往往不敢开展这类问题的教学，生怕难于掌控课堂，生怕影响教学进度，影响教学成绩。这种想法恰恰与新课改的精神是矛盾的，应该借助数学中的探究性学习让学生提高学习数学的兴趣，培养科学的探究精神。因此，教师要引导学生正确地处理“探究性问题”，笔者建议采用小组合作的形式。

针对上面提到的三个问题，笔者把全班学生分为了6大组（各组选定一学生为组长），由各组长组织成员利用课余时间对三个问题进行研究，并填写表格（每组派发三张，每个问题填写一张）。

在研究的过程中，学生在各自组长的组织下，分工明确，在课余时间，到学校的多媒体教室，利用几何画板软件对问题的探究过程、猜想、结果进行了探讨与验证。期间，笔者还两次组织组长汇报对各自问题探究的进展情况；有几个组还邀请笔者当“技术顾问”，比如教学生如何用“几何画板” 画双曲线，如何让点移动，直线绕点旋转……到了第三天，笔者把表格全部收回，学生的研究结果令人感到满意。笔者把这些结果进行了完善和整理，并在收回的表格中评价学生，最后在课堂上与学生共同分享了这次探究的结果。

从探究的结果来看，问题的解决，既充分体现了解决解析几何问题的思想方法——数形结合思想，也几乎涵盖了圆锥曲线中有关分类讨论问题的解决思路，相信这种学习方式的影响是传统的“接受式学习”所不能及的。

责任编辑罗峰