周启杰

近几年全国新课标卷对于导数应用的考查，其难点一直围绕函数的单调性、极值（最值）展开，以导数为工具探究函数的性质，借此研究不等式、方程等问题，着重考查分类讨论、数形结合、化归与转化的数学思想方法，意在考查学生的运算求解能力，推理论证能力，充分体现数学理性思维的特点，从思维的层次性、深刻性、创新性等方面进行全面考查，凸显了高考试题的选拔功能，一直在履行压轴的使命.本文通过解析近几年新课标卷导数压轴题，透视归纳导数压轴题的命题规律.

类型1不等式恒成立求参数范围

不等式恒成立求参数范围是导数应用的热点问题，常规方法有分参法、函数最值法，但新课标卷对这类问题的考查却别有洞天，往往利用函数的性质求解参数的范围.2010、2011、2013、2014年份的全国新课标卷均考查了这种类型.下面以2010、2014年份的试题为例说明.

例1（2010年新课标理科）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的单调区间；

（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.

解析一（1）a=0时，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1.

当x∈（-∞，0）时，f′（x）<0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）>0.故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加.

（2）f′（x）=ex-1-2ax，

由（1）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立.故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，

从而当1-2a≥0，即a≤12时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，

于是当x≥0时，f（x）≥0.

由ex>1+x（x≠0）可得e-x>1-x（x≠0）.从而当a>12时，

f′（x）

故当x∈（0，ln2a）时，f′（x）<0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）<0.

综合得a的取值范围为（-∞，12].

解析二f′（x）=ex-1-2ax.

令g（x）=f′（x），则g′（x）=ex-2a.

①当a≤1[]2[SX）]时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）上递增，故g（x）≥g（0）=0，

所以，f′（x）≥0，即f（x）在[0，+∞）上递增，

故f（x）≥f（0）=e0-1-0-a·02=0，即f（x）≥0成立.

②当2a>1，即a>12时，ln2a>0，易知g（x）在（0，ln2a）上递减，在（ln2a，+∞）上递增，显然，在（0，ln2a）上，g（x）≤g（0）=0，所以f′（x）≤0，即f（x）在（0，ln2a）上递减，f（x）

综上得a的取值范围是（-∞，12].

说明解法一运用了放缩法，技巧性强，解题过程简练；解法二体现了通法.

例2（2014年新课标2理科）

已知函数f（x）=ex-e-x-2x.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；……