石向阳

许多组合问题看似与方程无关，若能去伪存真，转换思维角度，转化为不定方程整数解的模型，则往往能化繁为简、柳暗花明.1不定方程整数解的有关结论

定理1不定方程x1+x2+…+xk=n（k，n∈N+）的非负整数解的个数为Cnn+k-1.

证法1将不定方程x1+x2+…+xk=n的任意一组非负整数解（x1，x2，…，xk）对应于一个由n个圆圈“○”和k-1个“+”组成的如图○…○x1个+○…○x2个+…+○…○xk个所示的排列，每段圆圈“○”的个数即为原方程的一组非负整数解，易证对应关系是一对一的.

所以不定方程x1+x2+…+xk=n的非负整数解的个数就是n个圆圈“○”和k-1个“+”组成的直线排列数，即在n+k-1个位置中选k-1放置“+”（或选n个位置放置圆圈“○”），因此共有不同的排法种数为Ck-1n+k-1=Cnn+k-1.

证法2对不定方程x1+x2+…+xk=n的任意一组非负整数解（x1，x2，…，xk），令y1=x1+1，y2=x1+x2+2，…，yk=x1+x2+…+xk+k，则1≤y1

定理2不定方程x1+x2+…+xk=n（k≥2，n≥2，k≤n）的正整数解的个数为Ck-1n-1.

证法1设想将n个1排成一排，这n个1之间有n-1个空档，从n-1个空档中选k-1个放入k-1个“+”，共有Ck-1n-1种放法，这k-1个“+”把n个1分成k段，各段1的个数即为原方程的一组正整数解，这样“+”的每一种放法就对应着原不定方程的一组正整数解，所以原不定方程共有Ck-1n-1组解.

证法2令yi=xi-1，其中xi≥1，不定方程x1+x2+…+xk=n的正整数解与不定方程y1+y2+…+yk=n-k非负整数解之间建立了一一对应关系，所以不定方程x1+x2+…+xk=n的正整数解组（x1，x2，…，xk）的组数与不定方程y1+y2+…+yk=n-k非负整数解组（y1，y2，…，yk）的组数相等，由定理1知，方程y1+y2+…+yk=n-k有Cn-k（n-k）+k-1=Cn-kn-1=Ck-1n-1个非负整数解，所以方程x1+x2+…+xk=n有Ck-1n-1个正整数解.2利用不定方程整数解的结论解有限制条件的不定方程或不定方程组的整数解的个数问题

例1求方程2x1+x2+x3+…+x10=3的非负整数解的个数.

解析由题意，x1=0，1，故分情况讨论如下：

若x1=0，则x2+x3+…+x10=3，该方程非负整数解的个数为：C39+3-1=165；……