魏星

在高三的复习迎考教学中，我们遇到了一个解法正确，结果错误的不等式恒成立问题，即后面的题目，找出错因后引出了一些思考.

题目已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e=2.71828…是自然对数的底数.

（1）若函数（x）=f（x）-x+1x-1，求（x）的单调区间；

（2）若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围.

原解（1）略；（2）由g（x）≥kf（x+1）+1（x≥0）恒成立得ex≥kln（x+1）+1在x≥0时恒成立，即kln（x+1）≤ex-1在x≥0时恒成立，因为ln（x+1）≥0，ex-1≥0，若k≤0，则kln（x+1）≤ex-1在x≥0时恒成立；若k>0，由ln（x+1）≤x得kln（x+1）≤kx，由kx≤ex-1知当x=0时，对于任意正实数k都成立，当x>0时，不等式k≤ex-1x，令h（x）=ex-1x（x>0），h′（x）=xex-（ex-1）x2=ex（x-1）+1x2，当x∈（0，1）时，h′（x）<0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）>0，所以h（x）有极小值也是最小值为h（1）=e-1，所以当0

综上，若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立的实数k的取值范围是（-∞，e-1].

题目的上述原解法，既不完全同于高考参考解法（不分离出参数k，分类讨论，即设h（x）=kln（x+1）-（ex-1）（x≥0），先由h′（x）=kx+1-ex观察出符合条件的k的范围，再否定不合条件的k的范围），也不全同于异于高考参考解法的分离参数法，即由ex≥kln（x+1）+1解出k≤ex-1ln（x+1），求k（x）=ex-1ln（x+1）（x>0）的值域，而是两种方法混合之，解法是没有问题的，但结果是错误的.

问题出在时下一个比较流行的错误命题（k≤f（x）恒成立k≤f（x）min）上，根据这

错误命题，解决k≤f（x）恒成立就必须求得f（x）min，原解法的问题就出在求h（x）=ex-1x

的最小值上，即由h′（x）=xex-（ex-1）x2=ex（x-1）+1x2，当x∈（0，1）时，h′（x）<0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）>0，h（x）min=h（1）=e-1，这是错误命题下观察不细致误，事实上，当x∈（0，+∞）时，h′（x）>0恒成立，h′（1）=1≠0，即h（x）=ex-1x（x>0）的最小值不是h（1）=e-1，h（x）=ex-1x（x>0）根本就没有最小值，要正确解出，还得根据正确命题（k≤f（x）恒成立求f（x）的值域得最佳不等式）求函数h（x）=ex-1x（x>0）的值域，还必须用函数的极限，特别是洛比达法则求极限，这样，题目（2）的解法可修正为下面的正确解法1.

解法1（2）由g（x）≥kf（x+1）+1（x≥0）恒成立得ex≥kln（x+1）+1在x≥0时恒成立，即kln（x+1）≤ex-1在x≥0时恒成立，因为ln（x+1）≥0，ex-1≥0，若k≤0，则kln（x+1）≤ex-1在x≥0时恒成立；若k>0，由ln（x+1）≤x得kln（x+1）≤kx，由kx≤ex-1知当x=0时，对于任意正实数k都成立，当x>0时，不等式k≤ex-1x，令h（x）=ex-1x（x>0），h′（x）=xex-（ex-1）x2=ex（x-1）+1x2，令……