☉江苏省海门实验学校刘九华

例析与导数相关的参数问题

☉江苏省海门实验学校刘九华

导数和含参数函数的单调性问题是历年高考命题的热点，也是难点.试题主要有以下两类：一是利用导数解决有关含参数函数的单调性问题；二是已知含参数函数的单调性求参数范围的问题.下面笔者结合平时的教学实践谈谈这两类问题，欢迎指正.

一、利用导数解决含参数函数的单调性问题

利用导数解决含参数函数的单调性问题是常考题型，传统解法要求考生的思维极其严密才能讨论全面.笔者根据教学经验，要解决这类问题，首先明确讨论的三个基本点:1.导函数是否存在零点；2.若导函数存在零点，零点是否在定义域内；3.若导函数有零点，零点是否相等.有时可能是上述几种因素的综合考查，下面举例说明.

①当a＜0时，由f′（x）=0，解得x=a或x=1，a∉（0，+∞），在（0，1）上，f′（x）＜0，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）.

②当a=0时，f′（x）=x-1，在（0，1）上，f′（x）＜0，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）.

③当0＜a＜1时，在（0，a）和（1，+∞）上，f′（x）＞0，在（a，1）上f′（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，a）和（1，+∞），单调递减区间是（a，1）.

⑤当a＞1时，在区间（0，1）和（a，+∞）上，f′（x）＞0，在区间（1，a）上f′（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a，+∞），单调递减区间是（1，a）.

综上所述：当a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）；

当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间是（0，a）和（1，+∞），单调递减区间是（a，1）；

当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当a＞1时，f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a，+∞），单调递减区间是（1，a）.

点评：此例导函数有零点，但需考虑零点是否落在定义域内与导函数有零点但需要讨论零点是否相等的问题的结……