胡鹏

不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题.此类题型综合性较强，常涉及一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此成为历年高考的一个热点.题中所涉及的未知数、参数数目有多个，处理时常常陷入困境之中，本文通过几个具体例题，探讨该类问题的基本的解题策略.

典例分析：

1.变“辅元”为“主元”

例1.不等式x2-2ax+1>0在区间a∈[1，2]上恒成立，求实数x的取值范围.

解析：我们可以用改变主元的办法，将a视为主变元，将x视为参数，即将原不等式化为-2ax+x2+1>0，则令f（a）=-2ax+x2+1，则1≤a≤2时f（a）>0恒成立f（1）>0f（2）>0即x2-2x+1>0x2-4x+1>0解得x>2+或x<2-

点评：在不等式中出现了两个字母：x及a，而我们都习惯把x看成是一个变量a作为常数.本题可以转换视角，可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[1，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.此类题本质上是利用了一次数在闭区间上的图像是一条线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.此类题型借用一次函数的性质变“辅元”为“主元”.

对于一次函数有：f（x）=kx+b，x∈[m，n]有：f（x）>0恒成立f（m）>0f（n）>0恒成立f（m）<0f（n）<0

2.利用一元二次函数的判别式

例2.关于x的不等式ax2-2ax+3>0在区间R上恒成立，求实数a的取值范围.

解：（1）a=0时，满足题意。

（2）a>0Δ=4a2-12a<0解得0

综上所述0≤a<3

点评：对于一元二次函数有：f（x）=ax2+bx+c>0（a≠0，x∈R）有

（1）f（x）>0在x∈R上恒成立a>0且Δ<0；

（2）f（x）<0在x∈R上恒成立a<0且Δ<0.

3.利用函数的最值（或值域）

例3.关于x的不等式x2-2ax+1<0在区间[1，2]上恒成立，求……