张俊青（山西职业技术学院 山西 太原 030006）

数列极限求解方法的探讨

张俊青
（山西职业技术学院 山西 太原 030006）

数列是数学中一个非常基础的概念，在高等数学中有非常重要的应用。数列极限的计算，是微积分学习中的一个难点，本文通过实例对多种求极限的方法进行了有益的探讨。

数列极限；求解方法

0.引言

数列极限是一个非常重要的数学概念，本文重点介绍了数列极限的求解方法。包括单调有界法，“求”与“证”结合法，ε-N定义法等。通过实例本文总结了这些方法的特点、适用范围以及需要注意的问题。

1.单调有界法

证明：an=,易见数列an｛｝是递增的，现用数学归纳法证明an｛｝有上界。显然a1=，假设an<2,则有an+1==2，从而a

n+1<2,即可知数列an｛｝有上界。根据单调有界定理可得，数列an｛｝有极限。假设=a。

求解可得a=2或a=-1，因a＞0，固取a=2

2.“求”与“证”结合

∴数列xn｛｝是单调递减且有下界的数列。所以，xn｛｝必有极限。以下求xn｛｝的极限，设

注意：对于极限存在性的证明是必须的，只做求解而不做证明很可能导致错误的结果。不妨来看这样一个反例：xn=5·2n-1(n=1,2,···)，则xn+1=xn·2(*)。

用数列极限定义法求解时，关键是找数列极限定义中的正整数N。

4.相应子序列的极限与函数极限等值

将数列中的n换成x，将数列的极限转化为相应函数的极限，求出此函数的极限，则得到相应数列的极限。

5.级数敛审法

6.利用定积分求极限

利用定积分求极限，主要针对于求解项数无限增大的无穷小量之和的极限。求解步骤为：①将每一项都提出一个，提出后，剩下的式子表示为一个通项；②将问题转化为通项公式所对应的函数在某一区间上的积分。

7.利用夹逼定理求极限

通常n个项按递增或递减排列时，用夹逼定理求解。……