林梅羽林群雄(.莆田学院基础教育学院 福建 莆田 3500；.莆田第二中学 福建 莆田 3500)

关于紧算子的若干探讨

林梅羽1林群雄2
(1.莆田学院基础教育学院 福建 莆田 351100；2.莆田第二中学 福建 莆田 351100)

给出严格奇异空间及严格余奇异空间上算子T是紧的充分必要条件，证明了对任意复无限维的Hilbert空间H，有K(H)=I(H)成立，并给出对于Banach空间X，使K(X)=I(X)不成立的一个反例。

紧算子；非本性算子；严格奇异算子；严格余奇异算子

1.引言及定义

众所周知，任意无穷维Hilbert空间H上的一个（有界线性）算子T是紧算子当且仅当其值域R(T)不含无穷维闭子空间。R.G.Douglas在文献[1，P23]中提出这样的问题：当Hilbert空间用任意的Banach空间代替时，上述命题是否仍然成立？D.Van Dulst在文献[4]中否定回答了R.G.Douglas的上述问题，亦即有Banach空间X，其上存在一算子T，使R（T）含有X的无穷维闭子空间，但T不是紧算子。文章主要讨论一类特殊Banach空间上算子T是紧的充要条件，证明了在Hilbert空间上，紧算子和非本性算子是一致的，并给出上述命题对Banach空间不成立的例子。

如无特别声明，文章始终设H，K为复无限维的Hilbert空间，X，Y为复无限维的Banach空间，X*，Y*分别表示X，Y的共轭空间，B（X，Y），K（X，Y）分别表示由X到Y的有界线性算子的全体，紧算子的全体。当X=Y时，其分别简记B（X），K（X）。设T∈B（X），M是X的闭子空间，T*表示T的伴随算子，T｜M表示T在M上的限制，N(T)和R(T)分别表示T的零空间和值域。α(T):=dimN(T)表示零维，β(T):=dimY/R(T)表示亏维。称T∈B（X）为Fredholm算子，若α(T)＜∞，且β(T)＜∞。X上Fredholm算子的全体记为Φ(X)。称T∈B（X）为非本性算子，若对任给的算子A∈B（X），有I-TAΦ(X)，等价地，对任给的算子A∈B（X），有IAT∈Φ(X)。X上非本性算子的全体记为I（X）。称T∈B（X）是严格奇异算子，若对于X的某个闭子空间M，T｜M是M到T（M）上的同构，则M必是有限维的。……