宋国亮 刘今子 刘日成 李文赫

摘 要：降维法是一种重要的数学方法，包括降低函数的元数、函数的次数、微分方程的阶数、积分的重数、行列式和矩阵的阶数、线性方程组和随机变量的元数等。其中心思想就是化繁为简，化未知为已知，符合认知规律。降维法在大学数学诸多课程中有着广泛的应用，能增强知识间的纵向和横向联系，培养学生思维的灵活性和创造性。

关键词：降维法；高等数学；线性代数

数学中的“维”指的是一个数学问题中元素的自由度，即该元素的坐标数。“降维”则通过一些数学方法，如代入、换元、求导、积分等，将高维的数学问题降为低维，从而使复杂的数学问题得到简化，达到解决数学问题的目的。笔者结合多年实际教学经验，谈一谈“降维思想”在解决数学问题中的运用。

一、在高等数学课程中的应用

1.降低微分方程的阶数

在可降阶的微分方程中，可以通过换元的方法，将高阶的微分方程化为低阶的微分方程，进而求解。对于y（n）=f（x）型的微分方程，可以换元令z=y（n-1），原方程可化为一阶微分方程，积分一次解得y（n-1），逐次换元，积分n次可得原方程的通解。对于y''=f（x，y'）型和y''=f（y，y'）型的微分方程，可令y'=P将原方程化为一阶微分方程，解出y'，又得一阶微分方程，解之可得原方程的通解。

2.降低积分的重数

重积分通常可以利用直角坐标、柱面坐标和球面坐标进行计算，坐标的选择取决于积分区域和被积函数的特征，具体计算则通过固定变量降低被积函数的元数，同时利用投影降低积分区域的维数，从而将重积分化为累次积分。……