韩胜伟

(陕西师范大学 数学与信息科学学院， 陕西 西安 710119)



Q-代数的一种新表示

韩胜伟

(陕西师范大学 数学与信息科学学院， 陕西 西安 710119)

摘要：研究了幂集Q-代数到Q-代数之间Q-代数同态εM的性质;利用Q-代数同态εM构造了幂集Q-代数上的核映射gM;利用核映射gM证明了每一个Q-代数同构于某一个幂集Q-代数的商Q-代数。

关键词:Quantale; Q-代数; 核映射; Q-代数同态

MR subject classification: 06F07

受单位交换环上环代数研究的影响, Solovyov提出了Quantale代数的概念[1-2]。实际上, Quantale代数是Quantale和Quantale模的推广, 它在研究满层的L-拓扑空间、L-frame和L-Quantale中起着十分重要的作用[3-4]。Solovyov基于半群构造了一类幂集Quantale代数, 并给出了Quantale代数的一种表示[1]。潘芳芳、韩胜伟和赵彬基于序半群构造了一类新的幂集Quantale代数, 并对这类幂集Quantale代数进行深入的研究[5-6]。本文首先研究Quantale代数上的核映射; 其次,基于序半群上的幂集Quantale代数, 给出Quantale代数一种新的表示。

1预备知识

首先,我们介绍有关Quantale和Quantale代数的基本概念。

定义2设Q是Quantale，e∈Q。若∀x∈Q，有e&x=x=x&e，则称e是Q的单位元。若∀x、y∈Q,x&y=y&x，则称Q是交换的。若Q上的闭包算子g满足：∀x,y∈Q,g(x)&g(y)≤g(x&y),则称g是Q上的Quantale核映射。

在本文中，我们一直假设Q是交换的单位Quantale，其中eQ是Q的单位元。

定义3[8]设Q是Quantale。Q上的Quantale模是一个二元序组(M,·),其中M是完备格,·:Q×M→M是一个映射，且满足下列条件：

(3) ∀m∈M,eQ·m=m;

(4) ∀p、q∈Q,m∈M,(p&q)·m=p·(q·m)。

定义4[1]设Q是Quantale。Q上的Quantale代数(简称Q-代数)是一个三元序组(M,·,⊗)，其中(M,·)是Q上的Quantale模，(M,⊗)是Quantale,且满足：∀q∈Q,a、b∈M,q·(a⊗b)=(q·a)⊗b=a⊗(q·b)。

若Q-代数之间的一个映射既是Quantale同态，又是Quantale模同态，则称它是Q-代数同态。若Q-代数同态是双射，则称它是Q-代数同构。

设S是序半群，映射f:S→Q被称为Q-模糊集[9]。若∀x、y∈S,x≤y⟹f(x)≥f(y)，则称f是强凸的。用FQ(S)表示S上所有强凸Q-模糊子集构成的集合，在逐点序下FQ(S)是完备格。……