韩胜伟

(陕西师范大学 数学与信息科学学院， 陕西 西安 710119)



Q-代数的一种新表示

韩胜伟

(陕西师范大学 数学与信息科学学院， 陕西 西安 710119)

摘要：研究了幂集Q-代数到Q-代数之间Q-代数同态εM的性质;利用Q-代数同态εM构造了幂集Q-代数上的核映射gM;利用核映射gM证明了每一个Q-代数同构于某一个幂集Q-代数的商Q-代数。

关键词:Quantale; Q-代数; 核映射; Q-代数同态

MR subject classification: 06F07

受单位交换环上环代数研究的影响, Solovyov提出了Quantale代数的概念[1-2]。实际上, Quantale代数是Quantale和Quantale模的推广, 它在研究满层的L-拓扑空间、L-frame和L-Quantale中起着十分重要的作用[3-4]。Solovyov基于半群构造了一类幂集Quantale代数, 并给出了Quantale代数的一种表示[1]。潘芳芳、韩胜伟和赵彬基于序半群构造了一类新的幂集Quantale代数, 并对这类幂集Quantale代数进行深入的研究[5-6]。本文首先研究Quantale代数上的核映射; 其次,基于序半群上的幂集Quantale代数, 给出Quantale代数一种新的表示。

1预备知识

首先,我们介绍有关Quantale和Quantale代数的基本概念。

定义2设Q是Quantale，e∈Q。若∀x∈Q，有e&x=x=x&e，则称e是Q的单位元。若∀x、y∈Q,x&y=y&x，则称Q是交换的。若Q上的闭包算子g满足：∀x,y∈Q,g(x)&g(y)≤g(x&y),则称g是Q上的Quantale核映射。

在本文中，我们一直假设Q是交换的单位Quantale，其中eQ是Q的单位元。

定义3[8]设Q是Quantale。Q上的Quantale模是一个二元序组(M,·),其中M是完备格,·:Q×M→M是一个映射，且满足下列条件：

(3) ∀m∈M,eQ·m=m;

(4) ∀p、q∈Q,m∈M,(p&q)·m=p·(q·m)。

定义4[1]设Q是Quantale。Q上的Quantale代数(简称Q-代数)是一个三元序组(M,·,⊗)，其中(M,·)是Q上的Quantale模，(M,⊗)是Quantale,且满足：∀q∈Q,a、b∈M,q·(a⊗b)=(q·a)⊗b=a⊗(q·b)。

若Q-代数之间的一个映射既是Quantale同态，又是Quantale模同态，则称它是Q-代数同态。若Q-代数同态是双射，则称它是Q-代数同构。

设S是序半群，映射f:S→Q被称为Q-模糊集[9]。若∀x、y∈S,x≤y⟹f(x)≥f(y)，则称f是强凸的。用FQ(S)表示S上所有强凸Q-模糊子集构成的集合，在逐点序下FQ(S)是完备格。定义FQ(S)上的二元运算和模运算*:Q×FQ(S)→FQ(S)如下：

∀f、g∈FQ(S),q∈Q,x∈S,

(f,

(q*f)(x)=q&f(x)。

命题1[5]设S是序半群，则(FQ(S),*,)是Q-代数，称为S上的幂集Q-代数。

设f:S→T是序半群同态，定义幂集算子f→:FQ(S)→FQ(T)如下：

命题2[6]设f:S→T是序半群同态，则f→：FQ(S)→FQ(T)是Q-代数同态。

本文用到但未提及的概念和结论请参考文献[7,10-11]。

2Q-代数的一种新表示

基于半群，Solovyov给出了Q-代数的一种表示。在本节中，我们将基于序半群给出Q-代数一种新的表示。我们首先介绍Q-代数上核映射的概念。

定义5[1]设(M,·,⊗)是Q-代数，g是M上的Quantale核映射。若∀q∈Q，m∈M，q·g(m)≤g(q·m)，则称g是M上的Q-代数核映射。

设g是Q-代数M上的Q-代数核映射，Mg={m∈M:g(m)=m}。

注1设(M,·,⊗)是Q-代数，eQ≤q,且q&q=q,则q·_:M→M是M上的Q-代数核映射。

为了给出Q-代数新的表示定理，我们需要介绍幂集Q-代数上特殊的核映射gM。首先我们做一些准备工作。设(M,·,⊗)是Q-代数，定义映射εM:FQ(M)→M如下：

定理2设(M,·,⊗)是Q-代数，则εM是Q-代数同态。

证明容易验证εM保持任意并，只需验证εM保持半群运算和模运算。

设f、g∈FQ(M),q∈Q,则

(1)εM(fg)=g)(m))·m=

εM(f)⊗εM(g)。

q·εM(f)。

因此，εM是Q-代数同态。

设(M,·,⊗)是Q-代数。由于Q、M是完备格，_·m保持任意并，则_·m有左伴随，记作m→_。根据剩余理论，我们有下面的引理。

引理1设(M,·,⊗)是Q-代数，且m、n、t∈M，m≤n,则n→t≤m→t,t→m≤t→n。

设(M,·,⊗)是Q-代数，且m∈M。由引理1知映射αm=_→m∈FQ(M)。

命题3设(M,·,⊗)是Q-代数，且m∈M,则εM(αm)=m。

推论1设(M,·,⊗)是Q-代数，则εM是满Q-代数同态。

定义6[9]序半群S上的序模糊点是一个映射xλ:S→Q，

其中λ∈Q。

引理2设S是序半群，λ、μ∈Q/{0},x、y∈S,g∈FQ(S),则

(1)xλ⊆yμ⟺x≤y,λ≤μ;

(2)xλ=λ*xeQ;

(3)xλyμ=(xy)λ&μ。

设S是序半群，定义映射λS:S→FQ(S)如下：

∀x∈S,λS(x)=xeQ。

引理3设S是序半群，则λS是序半群同态。

引理4[9]设f:S→T是序半群同态，则∀x∈S,λ∈Q,f→(xλ)=(f(x))λ。

命题4设f:S→T是序半群同态，则下图可换。

证明由引理4可证。

命题5设f:M→M′是Q-代数同态，则下图可换。

证明∀x∈M，有

εM′∘f→∘λM(x)=εM′∘f→(xeQ)=

εM′((f(x))eQ)=

由x的任意性知εM′∘f→∘λM=f，即上图可换。

设(M,·,⊗)是Q-代数，定义FQ(M)上的映射gM如下：

∀α∈FQ(M),m∈M,

gM(α)(m)=m→εM(α)。

命题6设(M,·,⊗)是Q-代数，则gM是FQ(M)上的Q-代数核映射。

证明可参考文献[1]中命题5.1的证明。

下面，我们给出Q-代数一种新的表示。

定理3设(M,·,⊗)是Q-代数，定义映射ρM:M→(FQ(M))gM如下：ρM(m)=αm,则ρM是Q-代数同构。

证明可参考文献[1]中定理5.3的证明。

推论2设(M,·,⊗)是Q-代数，则

gM=ρM∘εM。

3结语

本文基于序半群上幂集Q-代数的核映射, 证明了任意Q-代数同构于某一幂集Q-代数的商Q-代数。因此,Q-代数核映射在研究Q-代数起着十分重要的作用。我们接下来的工作是研究Q-代数上不同类型的Q-代数核映射。

参考文献:

[1] SOLOVYOV S A. A representation theorem for quantale algebras[M]. Contributions to General Algebra, 2008, 18: 189-198.

[2] SOLOVYOV S A. From quantale algebroids to topological spaces: fixed-and variable-basis approaches[J].Fuzzy Sets and System, 2010, 161:1270-1287.

[3] YAO W. A survey of fuzzifications of frames, the Papert-Papert-Isbell adjunction and sobriety[J].Fuzzy Sets and System, 2012, 190: 63-81.

[4] 汪开云. 模糊Domain与模糊Quantale中若干问题的研究[D].西安：陕西师范大学数学与信息科学学院, 2012.

[5] PAN F F, HAN S W. FreeQ-algebras[J].Fuzzy Sets and System, 2014, 247: 138-150.

[6] HAN S W, ZHAO B. On the power-setQ-algebras[J].Semigroup Forum, 2016,92(1):214-227.

[7] ROSENTHAL K I. Quantales and their applications[M].New York:Longman Scientific & Technical, 1990.

[8] ABRAMSKY S, VICKERS S. Quantale, observational logic and processsemantics[J].Mathematical Structures in Computer Science, 1993, 3(2): 161-227.

[9] HAN S W, ZHAO B.Q-fuzzy subsets on ordered semigroups[J].Fuzzy Sets and System, 2013, 210: 102-116.

[10] BIRKHOFF G. Lattice theory[M].New York: American mathematical Society, 1995.

[11] SOLOVYOV S A. On the categoryQ-mod[J]. Algebra Universalis, 2008, 58: 35-58.

〔责任编辑宋轶文〕

A new representation forQ-algebras

HAN Shengwei

(School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University,Xi′an 710119, Shaanxi, China)

Abstract:Some properties of Q-algebra homomorphisms εM from power-set Q-algebras into Q-algebras are investigated.By using the Q-algebra homomorphisms εM, the Q-algebra nuclei gM on power-set Q-algebras are constructed.In terms of Q-algebra nuclei gM, it is proved that every Q-algebra is isomorphic to a quotient Q-algebra of some power-set Q-algebra.

Keywords:Quantale; Q-algebra; nucleus; Q-algebra homomorphism

中图分类号：O153.1

文献标志码：A

基金项目：国家自然科学基金重点项目(11531009);陕西省自然基础研究计划面上项目(2015JM1020); 陕西省教育厅项目(15JK1667); 中央高校基本科研业务费专项资金(GK201402001，GK20151001)

收稿日期：2015-06-16

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.02.121

文章编号：1672-4291(2016)02-0001-03

第一作者： 韩胜伟, 男, 副教授,博士, 主要从事格上拓扑与不确定性理论的研究。E-mail:hansw@snnu.edu.cn