陈芬饶玖

【摘要】《线性代数》是高等院校理工科以及经济管理等文科大学生的必修基础课，针对独立院校学生的特点和培养的目标和， 通过教学案例， 利用Matlab软件的绘图功能实现线性代数的概念、定理、应用的“可视化”，完成将数学知识由抽象到直观的转化这一过程。调动学生对《线性代数》课程的学习兴趣，以促进应用型人才的培养。

【关键词】线性代数 可视化 Matlab

【基金项目】武汉学院教研项目（JY201514）。

【中图分类号】O151.2-4；G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0064-02

《线性代数》课程是独立院校理工科以及经济管理类等文科大学生的必修基础课， 具有抽象、严密、逻辑性强的特点。当前的《线性代数》课程教学内容存在概念多而抽象、直观信息少、理论多应用少等问题， 而独立院校学生形象思维发达， 抽象能力弱， 逻辑推理能力不强， 导致学生内心对这门课程比较排斥， 学习兴趣不高。事实上，独立院校主要培养应用型人才， 《线性代数》学科内容在数学建模中有大量应用。因此， 研究《线性代数》课程的“可视化”教学具有十分重要的意义。所谓“可视化”就是化抽象为直观， 打破传统教学四步曲——概念， 定理， 证明， 习题的框框， 通过跨学科的案例教学， 将线性代数的知识立体生动的展现在学生面前。这样不仅可以充分调动学生的兴趣， 而且可以开放学生的灵活性、想象力和创造性， 挖掘学生的潜力， 提高学生的数学素养， 达到培养应用型人才的目标[1]. 《线性代数》课程教学的“可视化”研究主要包含三个方面， 即概念可视化， 定理可视化， 应用可视化。本文主要就三个方面阐述如何选取教学案例，如何利用Matlab软件实现线性代数概念、定理以及应用“可视化”。

1.概念可视化

Matlab是一种高效率的用于科学工程计算的高级语言， 最开始是作为矩阵实验室（Matrix Laboratory）提供使用LINPACK和EISPACK矩阵软件包接口的， 后来逐渐发展成为用于科学计算、图示交互系统的程序设计语言。Matlab不仅在数值计算上具有很强的优势， 而且在数据可视化方面的功能也很强大， 它可以给出数据的二维、三维甚至四维的图形表现。通过对图像立面、色彩、渲染、光线及视角等的控制，可以把数据的特征表现得淋漓尽致。《线性代数》的特点之一是定义多，概念多。传统教学方法就是直接给出定义，没有相关背景说明。这种与外部世界隔离的封闭式教学，不利于学生了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉，不利于学生运用数学工具解决实际问题。下面展示Matlab软件在《线性代数》中部分概念的“可视化”实现方面的教学案例。

在传统的教学模式里，对角矩阵， 上（下）三角形矩阵等特殊矩阵总是在给出矩阵定义后直接列举出。虽然这些定义不难接受，但介绍过程实在乏味。学生往往有这样的疑问“为什么要定义这么多的特殊矩阵？”“这些矩阵有什么作用？”。其实在这部分知识的教学中，可以将矩阵和数字图像处理联系起来， 为这些特殊矩阵添加一个具体背景[2]，这样不仅可以消除学生的疑问，还可以拓宽学生的知识面。在图像处理中数字图像可以用m行n列矩阵表示，元素aij表示图像在该点的灰度值。所以单位矩阵用图像表示出来就是图1（a）的效果。很多学生常将上三角形矩阵和下三角形矩阵定义混淆， 但如果借助数字图像知识解释三角矩阵就直观很多， 也不易混淆。图像信息集中在主对角线上方的就是上三角形矩阵（如图1（b））， 图像信息集中在主对角线下方的就是下三角形矩阵（如图1（c））。“上”“下”强调的是矩阵信息所在的位置。

数字图像除了能很好的解释矩阵的定义，还可以演示矩阵的运算。如矩阵加法用图像表现出来就是两幅图像叠加（如图2）， 矩阵数乘用图像表现出来的就是调节图像明暗（如图3），这样形象生动的实例教学， 不仅可以调动学生学习的积极性，还可以让学生对所学的知识印象深刻。

2.定理可视化

《线性代数》的另一个特点是定理多，证明多。有的证明非常复杂，对于独立学院的学生来讲，完全搞懂定理的证明不是一件容易的事情。独立学院培养的是应用型人才，能够运用数学的能力去解决实际问题。因此，独立院校学生不一定要弄懂定理严格的证明。大多数的《线性代数》教材在叙述向量组的线性相关性时， 一般都是从定理到定理、从证明到证明， 这样既让学生难以理解，也不利于知识的吸收。其实，如果在授课过程中增一些生活中的简单案例，可以让学生更容易理解定理的内容。并且还可以拓宽学生的思路， 培养学生的创新能力，加强学生对数学知识应用的能力。下面，我们用向量组的线性相性的定理说演示定理的可视化。

定理 设向量组a1，a2，…，at线性无关，它能由向量组β1，β2，…，βr线性表示，则

这个定理的表述中含有2个字母，证明较为复杂，很多学生对这个定理的结论记不住。如果教师在上课的时候给这个定理加一个好理解的背景，比如“抄作业”。假设某班作业有5个相互独立的原始版本， 组成一个向量组（A），（A）中的向量是线性无关的，其秩为5。抄作业的同学组成一个向量组（B），若只有一个同学抄作业， （假设一对一抄， 且抄的作业与原始版本一模一样， 即线性相关）请问向量组A可以有向量组B线性表出吗？显然不行，因为（A）中还有4个版本的作业没有被抄到。只有当抄作业的学生人数超过5人时， 且秩为7（即保证抄了原始的5个版本）， 这时向量组（A）才能由向量组（B）线性表出。有了这样的背景， 相信即使这个定理换一种说法， 换其它字母表示，学生还是能正确判断出向量个数的多少的。

3.应用可视化

《线性代数》知识主要应用于数学建模中。在建模过程中，让学生充分理解课本知识，体会建模思想，学会将理论应用到实际中，从而达到培养学生的创造性思维、意识和能力的目的。在大数据时代和信息共享的今天，不管是国内外的教材，还是在互联网上，都有很多涉及到到工程技术，经济管理，社会科学的线性代数的例子。我们用文献（3）中的例子来说明应用的可视化。

例[3]发展与环境问题已经成为21世纪各国政府关注的重点，为了定量分析污染水平与工业发展水平的关系，有人提出了一下工业增长模型：

设x0是某地区目前的污染水平，y0是目前的工业发展水平；若干年后的污染水平和工业发展水平分别为x1和y1，它们之间的关系为x1=3x0+y0，y1=2x0+2y0，即或a1=Aa0，其中a1=x1y1，a0=x0y0，A=3 12 2.

若当前的污染水平与工业发展水平为a0=（x0，y0）T=（1，1）T， 则若干年后的污染水平和工业发展水平为

a1=x1y1=3 12 211=44=411=4a0，

上式表明， 矩阵A乘以向量a0所得的向量a1恰是a0的4倍。这里4和向量a1分别是矩阵A的特征值和特征向量。

4.结束语

《线性代数》是一门应用非常广泛的学科。随着计算机科学的发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决，而作为处理离散问题的线性代数， 成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。传统的手工计算，只能解决一些低阶、变量较少的问题，而在实际中出现的大量的线性问题，都是高阶的和有很多变量的问题。由此可见，线性代数求解与计算机密不可分，使用MATLAB语言辅助线性代数的教学，今年来已成为较为流行的教学模式[4，5]。现代化数学教学应充分利用Matlab、Maple等多媒体工具。理论与实际相结合，传输学生具体知识的同时，培养学生建立数学模型，利用计算机的能力。数学不是抽象的代名词，数学是可以被看见的。

参考文献：

[1]王正盛.中外线性代数教材的比较与探讨[J].大学数学， 2009，25（1）：200-203.

[2]冈萨雷斯.数字图像处理（MATLAB版）[M].北京：电子工业出版社，2005.

[3]强静仁，陈芬，孟晓华.线性代数[M].武汉：华中科技大学出版社，2012.

[4]王亮，等.基于MATLAB的线性代数应用教程[M].北京：科学出版社， 2008.

[5]陈怀琛，等.工程线性代数（MATLAB版）[M].北京：电子工业出版社，2007.