黑虎

数学能力包括运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、建模能力和实践能力（应用能力）以及分析问题和解决问题的能力。它们相辅相成、相互促进各自的形成和发展。下面从五个方面谈如何培养学生的数学能力。

一、如何培养学生的运算能力

运算能力是数学能力的基础，各种数学能力都离不开运算能力，所以要想培养数学能力，首先要培养运算能力。培养学生的运算能力时，老师们必须有目的、有计划地选好题型、题量、题度。题型不能单一，题量不能过多，题度不能过难或过易。

例如，函数y=x3+ax2+bx +1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=-b，其中常数a，b∈R。

（1） 求曲线y=f（x）在点（1， f（1）） 处的切线方程。

（2） 设g（x）=f'（x）ex ， 求函数g（x）的极值。

解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1。

故f'（x）=3x2+2ax+b。

令x=1，得f'（1）=3+2a+b，又已知f'（1）=2a。

因此3+2a+b=2a，解得b=-3。

又令x=2，得f'（2）=12+4a+b，又已知f'（2）=-b。

因此12+4a+b=-b，解得a=-。

因此f（x）=x3-x-3x+1，从而f（1）=-。

又因为f'（1）=2×- =-3，

故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-- =-3（x-1），即6x+2y-1=0。

（2） 由（1）知g（x）=（3x2-3x-3）e-x。

从而有g'（x）=（-3x2+9x）e-x。

令g'（x）=0，得-3x2+9x=0，解得x1=0，x2=3。

当x∈（-∞，0）时，g'（x）<0，故g（x）在（-∞，0）上为减函数；

当x∈（0，3）时，g'（x）>0，故g（x）在（0，3）上为增函数；

当x∈（3，+∞）时，g'（x）<0，故g（x）在（3，+∞）上为减函数。

从而函数g（x）在x1=0处取得极小值g（o）=-3，在x2=3处取得极大值g（3）=15e-3。

二、 如何培养学生的逻辑思维能力

在数学诸多能力中，逻辑思维能力是核心，其他能力的培养都离不开逻辑思维能力，而且它还促进着人的发散思维的形成和发展。逻辑思维能力的最大功能是开发智力、培养能力，最大特点是严密性强。所以，可用逻辑性严密题来培养学生的逻辑思维能力。

例如：已知∠AOB ：∠BOC ：∠COD ： ∠DOA = 1：2：3：4。求∠BOC的取值范围。

解：如图1：上述各角同一方向旋转时，由图知∠AOB+∠BOC+∠COD+ ∠DOA= 360°

且∠AOC ：∠BOC ：∠COD ：∠DOA= 1：2：3：4

即原式=∠AOB+2∠AOB+3∠AOB+ 4∠AOB= 360°

即∠AOB= 36°

∴∠BOC= 72°

如图2：上述各角不同方向旋转时，由图知：

∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA= 2∠BOC+2∠COD≤720°

（∵∠AOB=∠AOC，∠AOD= ∠AOC+∠COD）

即0°<2∠BOC+3∠BOC≤720°

∴ 0°<∠BOC≤144°

∴由图1、图2知0°<∠BOC≤144°

三、如何培养学生的空间想象能力