周务新

【关键词】初中数学 分类思想

案例分析

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）02A-0073-02

分类思想是基于对象本质属性的异同，将数学研究对象根据一定的关系，合理划分为不同的种类进行分类讨论，再将讨论的结果进行总结归纳，得出题目和要研究问题的答案。比较是分类讨论的基础，分类讨论思想是深入研究问题的一种常用思想方法，需要在实践应用中掌握解题思路与技巧，做到触类旁通，举一反三。

在初中数学教学中，分类讨论思想的运用较为广泛，关于绝对值、有理数、与圆有关的位置关系等概念的分类，还有不等式、含有字母的方程相关解题方法的分类，图形位置关系、等腰三角形顶点不确定问题的分类等。本文就几个重要的分类思路与解题策略进行讨论分析。

一、坐标与图形分类问题

分类讨论思想的运用中，坐标与图形分类的运用较多，大多将重点集中在坐标系中各类图形的变换方式，将坐标与矩形、三角形、抛物线、双曲线等图形相结合，综合考查这些图形的基本性质在坐标系下的运用，增加了题型的难度与变化程度，也重点强调了对学生想象力的培养。

例1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，√3），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数有几个？

【解答】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质、数形结合、分类讨论等相关知识，通过数形结合，画图分析，了解到满足条件的M的个数有6个。

例2：在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是？

【解答】本题考查位似变换、坐标与图形性质、操作题、分类讨论等相关知识。根据题意画出相应的图形，可以分析出点E的对应点E′的坐标是（-2，1）或（2，-1）。

例3：（如图1）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为？

【解答】当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：（1）PD=OD=5，点P在点D的左侧，计算出P的坐标为（2，4）;（2）P在D的左侧，OP=OD=5，计算出P的坐标为（3，4）;（3）PD=OD=5，点P在点D的右侧，计算出P的坐标为（8，4）。

【分析】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理等动点型相关知识，需要运用到分类讨论的思想进行解答。P是一个不确定的点，在矩形与等腰三角形性质下，有三种不同的位置，再运用勾股定理，可以解答出P点的坐标。

二、等腰三角形分类问题

等腰三角形分类问题属于分类讨论中经常考查的一类问题，中考考查频率高。常会涉及腰长与底边长的确定、底角与顶角的确定等。较为复杂的是与圆、坐标等结合起来进行综合考查，综合题型较为复杂，学生要把握等腰三角形性质的核心，有效变通。

例4：若（a-1）2+|b-2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形周长为多少？

【解答】先根据非负数性质求解出a与b的结果，得出a=1，b=2。再结合三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出腰只能为2，底只能为1，所以，周长为2+2+1=5。

【分析】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质—绝对值、非负数的性质—偶次方、三角形三边关系的相关知识，需要运用到分类讨论思想，进行结果的分类讨论与说明。难点在于讨论求解的思路。

例5：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是多少？

【解答】①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°-80°×2=20°。综上，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°。

【分析】本题考查等腰三角形两个底角相等，两腰长度相等，再结合三角形基本性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，就能得出问题的答案。

三、动点型分类讨论问题

动点型分类讨论问题一般是中考题型中的压轴题，也是学生较为头疼的问题。解决这类问题需要牢固掌握基础知识，综合运用三角形、圆形、坐标系、运动理论等相关知识，找准问题的关键，把握变化量及运动要素，有效解决问题。

例6：射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，√3cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值。

【解答】结合切线的性质、等边三角形的性质相关知识，已知△ABC为等边三角形，AM=MB=2cm，在沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动的过程中，会有3种切线情况，分别如下图2、图3、图4。

运用切线性质中直角三角形的勾股定理、等边三角形的相关知识，以及运动中速度、时间与路程的关系，得出图2中t=2，图3中t=3与t=7，图4中t=8。由分类讨论，总结得出答案为t=2或3≤t≤7或t=8。

【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论，将分类讨论的结果进行总结归纳，得出正确结果，还需要进行再次检验，以求结果的准确性，提高解题效果。

对于动点型分类讨论，重要是进行分类思想与方法的运用，全面考虑每种情况，并验证其正确性，再进行分类计算，总结出最后的结果，确保结果的全面、准确、有效。

四、图形的拼接分类讨论

在几何图形的拼接过程中，也运用到了分类讨论思想，拼接问题需要注意拼接的合理性，要从角度、长度进行配合，不能随意拼接，观察拼接后想要的图形，再整体规划拼接前的切线，找到切线，计算各部分线段的长度，再计算面积、周长等。

例7：如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是多少？

【解答】根据三角函数可以计算出BC=4，AC=2√3，再根据中位线的性质可得CD=AD=√3，CF=BF=2，DF=1，然后拼图，出现两种情况，如图5与图6，一种是拼成一个矩形，另一种拼成一个平行四边形，进而算出周长即可。结合计算得出，所得四边形的周长是8或4+2√3。

【分析】这道题主要考查了图形的剪拼，关键是根据条件画出图形，要考虑全面。实施分类讨论，采取数形结合的方法，全面分类与总结归纳。

【总结】对于该类型问题的分析，需要画出图形，运用数形结合的方法，再加上空间想象能力的运用，有效实施分类讨论，得出正确结果。

总之，分类讨论思想的应用非常广泛，需要深入到问题本质，展开思想方法的研究，发现数学本质属性的相同点与不同点，将研究对象有效分类。基于不遗漏、不重复的原则，展开合理、科学的分类讨论，并归纳总结分类结果，进行验证思考，继而得出问题的答案。分类讨论思想是初中数学重点学习的思想方法，也是能够有效培养学生创新思维、想象能力的关键因素，教师要重视对学生分类讨论思想方法的引导教学，并让学生在长期的实践练习中，提升解决问题的能力。

（责编 林 剑）