魏计玲

（山西省晋中市榆次五中）

探索篇·方法展示

一道题的反思

魏计玲

（山西省晋中市榆次五中）

今天，学生拿着题来问我，题目是这样的：如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为______

图1

很熟悉的图形，前两天刚解决过的一道题，当时是求证EF= BE+FD，这两道题如出一辙，可学生为什么把它们联系不起来呢？仔细想来，学生大量的做题，每道题独立出现，如果不深入思考，今天做会这个，明天稍有变化，又是一道新题，又得从头再来，如何能让学生对所做的习题进行变通、推广，在不同角度、不同层次、不同情形、不同背景下重新认识呢？

于是，我对此题进一步研究，并查阅相关资料，对这道题进行不同的变换，在课堂上和学生一起讨论、交流，希望能起到举一反三的作用，同时也教给学生一种有效的复习方法。

一、掌握原题的基本方法

原题：如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BE+FD

图2

引导学生归纳解决这一问题的方法：运用旋转，将△ABE和△ADF拼成一个三角形，通过证明三角形全等来证明结论。

二、对题目进行反思、探究

1.交换条件与结论，探究逆命题是否成立。学生运用刚才解决问题的方法，轻松得到结论，逆命题成立。

2.发散性思维训练，在原条件下，你还能得到哪些结论？

结合刚才的证明过程，学生还可以发现EA、FA分别平分∠BEF和∠EFD这一结论。

3.有了以上的发现，我给出了学生三个问题：

原条件不变，

（1）求证S正方形ABCD：S△EAF=2AB：EF。

（2）若BE=2，DF=3，求AB的长。

（3）若F是DC的中点，则tan∠AFE=，cos∠AEB=。

在解决问题（1）时。因为S四边形ABCD=AB2，易证△AEF中EF边上的高与正方形边长相等，即可证得结果，用到了EA平分∠BEF或FA平分∠EFD的结论。……