2015年的初中数学竞赛已落下帷幕，笔者对各类竞赛题的收集与整理、学习与研究饶有兴趣，纵观今年各类竞赛题，试题精彩纷呈，创新不断，无不凝结着命题人的智慧与汗水.在赞叹与感慨之余，对2015年全国初中联合试题进行再次学习时发现（初三二试）最后一题尚有商榷之处，下面就这道竞赛题谈几点自己的思考，望各位同仁不吝指教.

1 题目

（2015年初中联合竞赛试题初三.二试第三题）设正整数m，n满足关于x的方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个正整数解，证明：2（m2+n2）<5mn.

2几点思考

思考1——商榷之处

根据题意m，n是正整数，如果方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个正整数解，即当x，m，n是正整数时，等式（x+m）（x+n）=x+m+n是不能成立的.实际上，当x，m，n是正整数时，（x+m）（x+n）>x+m+n.下面对这一不等式进行证明.

证明因为（x+m）（x+n）-（x+m+n）=x2+mx+nx+mn-x-m-n

=（x-1）（x+m+n）+mn，

由于x，m，n是正整数，所以（x-1）（x+m+n）+mn≥mn>0，

即（x+m）（x+n）-（x+m+n）>0，于是（x+m）（x+n）>x+m+n.

既然（x+m）（x+n）>x+m+n，那么方程（x+m）（x+n）=x+m+n无解，所以要证明原题的结论是不可能的.

思考2——试题如何改编

经过上面的分析发现，方程（x+m）（x+n）=x+m+n无解是由于x，m，n是正整数所致，为了尽可能保留试题原貌，把如果方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个正整数解的“正整数”，改为“整数”，对原试题进行改编并分析解答.

思考3——改编后如何解答

改编后试题为，设正整数m，n满足关于x的方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个整数解，证明：2（m2+n2）<5mn.

分析从题目看是要证明一个不等式，其方法有分析法，综合法.结合题目条件，方程（x+m）（x+n）=x+m+n至少有一个整数解，必须要使得方程所对应的判别式为完全平方数，由此为突破口进行推理分析，则问题迎刃而解.下面对改编试题进行解答.

证明由方程（x+m）（x+n）=x+m+n得，x2+（m+n-1）x+mn-m-n=0，①，其判别式Δ=（m+n-1）2-4（mn-m-n）=（m+n）2-4mn+2（m+n）+1=（m-n）2+2（m+n）+1，

令m≥n，根据题意方程……