陈炎

本文以义务教育课程标准实验教科书九年级《数学》上册（上海科学技术出版社）一道课本习题和例题为例，浅谈解法的多样性，以及用“等积法”解题的便利性.

课本习题（P72，习题221第10题）已知：在△ABC中，AD为∠A的平分线.

求证：ABAC=BDCD.

分析：本题的背景是学生已学习了“平行线分线段成比例”，目的是考察学生通过添加辅助线，构造平行关系，进而得到线段的比例关系.学生可以“执果索因”，即通过结果是要证明一个比例式，进而打开思路，难度不大.图1

证明：如图1，过B点作BG∥AC交AD的延长线于G点，则BGAC=BDCD，∠CAD=∠G.因为AD为∠CAB的平分线，所以∠CAD=∠DAB，所以∠G=∠DAB，所以BG=AB，所以ABAC=BDCD.图2

当然，本题添加辅助线的方法并不唯一，也可过D点作AC的平行线、过C点作AB的平行线等等，可充分调动学生的积极性，激发学生的兴趣.但是如果跳出教材看教材，本题放在整个初中领域里，通过“AD为∠A的平分线”这一唯一条件，想到向两边作垂线段（垂线段相等），可能更简单.如图2，过D点作DE⊥AC，垂足为E，DF⊥AB，垂足为F.

一方面，SABDSACD=12BD·h12CD·h=BDCD；

另一方面，SABDSACD=12AB·DF12AC·DE=ABAC，

所以ABAC=BDCD.

课本例题（P88，例1）一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80 cm，高AD=60 cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上，求这个矩形零件的边长.

分析：本题考察学生通过方程思想建立模型，并运用相似三角形的性质“相似三角形的对应高之比等于相似比”得到相等关系，题目甚是典型.图3

解：如图3，矩形PQRS为加工后的矩形零件，边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB、AC上，△ABC的高AD交PQ于点E.设PS为x cm，则PQ为2x cm.

因为PQ∥BC，所以△APQ∽△ABC，PQBC=AEAD，即2x80=60-x60，

解得x=24，2x=48.

再次跳出……