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钟表上的数学问题

2016-03-18张金英

中学数学杂志(初中版) 2016年1期
关键词:小格时针分针

张金英

北师大版七年级上册第四章《基本平面图形》学习了角的概念以及角的形成后,出现了有关钟表上时针和分针的夹角问题,同学们在解决此类问题时,出现了一定的困难.在学习了第五章《一元一次方程》列一元一次方程解决行程问题中的追及问题后,把这两个知识点结合起来,问题就容易解决多了.下面和大家一起探讨一下这方面的问题.

1求某一时刻钟表上时针和分针的夹角

我们知道,钟表一周被分成60个小格,每个小格对应的角度为36060°=6°,分针每分钟转动1小格,即分针每分钟转6°.时针1小时转6个格,即时针每小时转30°.把12点(0点)线看做是起始线,把某一时刻的分钟数乘以6°就可以得到分针转过的角度,得出分针与起始线的夹角,简称分针角,定出分针的位置.同样,把某一时刻的时间看做时针转过的小时数(分针转化为小时),小时数乘以30°,就可以得到时针转过的角度,得出时针与起始线的夹角,简称时针角,定出时针的位置.这时,再计算分针角与时针角的差(较大的角减去较小的角),就可以得到分针与时针的夹角.此方法好处在于省去了画钟表确定时针和分针位置的步骤,易于理解,计算简便,符合七年级学生的学情.

例1求7点22分时,时针与分针的夹角

解先求分针角22×6°=132°,再求时针角把7点22分转化为72260小时,72260×30°=221°,221-132=79°,所以7点22分时,时针与分针的夹角是79°.

说明分针与时针的夹角是指小于或等于平角,所以当时针角与分针角的差大于180°时,可以用360°减去它们的差,就得到分针与时针的夹角.

例2求2点52分时,分针与时针的夹角

解分针角52×6°=312°,时针角25260×30°=86°312°-86°=226°,

226°﹥180°,那么,2点52分时,分针与时针的夹角就是360°-226°=134.

2知道分针与时针的夹角,求时间

钟表上,分针和时针是同方向转动的,分针转速快,每小时转360°,时针转速慢,每小时转30°,钟表上分针和时针的转动就形成了数学上的追及问题.

例3经过多长时间分针与时针重合一次?

分析分针与时针重合一次指的是,它们从同一个位置同时出发,经过多长时间,分针比时针多转一圈(360°).

解设经过x小时分针和时针重合一次,

根据题意得360x-60×=360,

解得x=1211.

答:经过1211小时分针比时针重合一次.

例4在2~3之间,何时分针与时针的夹角为27°?

分析2点时,分针指向12,时针指向2,此时分针与时针的夹角为60°.若分针与时针的夹角为27°,27°<60°,分两种情况:时针在前27°时和分针在前27°时.

解设经过x小时分针与时针的夹角为27°.

1)当时针在前27°时,由题意得

30x+60=360x+27,

解得x=110,

110小时=6分钟.

2)当分针在前27°时,由题意得

30x+60=360x-27,

解得x=29110,

29110小时=15911分钟.

答:在2点6分或2点15911分时分针与时针的夹角为27°.

例5在1~2之间,何时分针与时针的夹角为90°?

分析1点时,分针指向12,时针指向1,此时分针与时针的夹角为30°.若分针与时针的夹角为90°,90°>30°,分两种情况:分针在时针前90°时或分针在时针前270°.

解设经过x小时分针与时针的夹角为90°.

1)当分针在时针前90°时,由题意得

30x+30=360x-90,

解得x=411,

411小时=21911分钟.

2)当分针在时针前270°,

由题意得

30x+30=360x-270,

解得x=1011,

1011小时=54611分钟.

答:在1点21911分或1点54611分时分针与时针的夹角为90°.

点评解决知道夹角求时间的问题,一般是先求出时针和分针的起始的夹角,分清所求时间的夹角与起始夹角的大小关系,当起始夹角大于所求时间的夹角时,分时针在前时和分针在前时两种情况列方程;当起始夹角小于所求时间的夹角时,分针在时针前α°时或分针在时针前(360°-α°)两种情况列方程.

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