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建立分式模型解决实际问题一例

2016-03-18郑泉水

中学数学杂志(初中版) 2016年1期
关键词:一定量污物洗衣粉

郑泉水

洗衣服人人都做过,但你是否注意过其中的数学问题?请看:

将一件衣服在洗衣粉水中充分浸泡、搓洗后,拧掉其中的污水,当然,你不可能将其中的污水全部拧掉,假设衣服中还存有1斤污水,现在要用20斤清水清洗,怎样清洗效果更好呢?

若将20斤清水一次用掉,即将衣服一下子放到20斤清水中,通过充分搓洗后,衣服中的1斤污水与20斤清水充分混合,再拧掉水分(还按衣服中存有1斤水计算),此时,衣服中存在的污物是原来的121.

若将20斤清水分两次用,第一次先用12斤,通过充分搓洗再拧掉水分,此时,衣服中存在的污物是原来的113;第二次用8斤,通过充分搓洗再拧掉水分,此时,衣服中存在的污物是第一次清洗后污物的19,即衣服中存在的污物是原来的113×19=1117.这比一次用掉20斤清水要干净多了!

若将20斤清水分两次用,每次用10斤,根据上面的计算方法可知,两次清洗后衣服中存在的污物是原来的111×111=1121.

看来,20斤清水分两次用,平均使用比不平均使用效果要好!

由此可知:①用一定量的清水清洗衣服,将清水分两次使用比一次使用效果要好;②用一定量的清水清洗衣服,将清水分两次平均使用比不平均使用效果要好.

下面我们证明上述结论.

将一件衣服在洗衣粉水中充分浸泡、搓洗后,拧掉其中的污水,假设衣服中还存有a斤污水,现在要用m斤清水清洗:

(1)若将m斤清水一次用掉,则衣服中存在的污物是原来的am+a,即a2ma+a2;

(2)若将m斤清水分两次用,第一次先用x斤,第二次用m-x斤,则衣服中存在的污物是原来的ax+a×a(m-x)+a,即a2mx-x2+ma+a2;

(3)若将m斤清水分两次平均使用,则衣服中存在的污物是原来的am2+a×am2+a,即a2m24+ma+a2.

接下来的问题就是比较三个分式a2ma+a2、a2mx-x2+ma+a2、a2m24+ma+a2的大小了,也就是比较ma+a2、mx-x2+ma+a2、m24+ma+a2的大小.

(1)由于x0,即mx-x2+ma+a2>ma+a2,

所以a2mx-x2+ma+a2

即:用一定量的清水清洗衣服,将清水分两次使用比一次使用效果要好.

(2)由于mx-x2=-(x-m2)2+m24,x≠m2(不平均使用),

故m24>mx-x2,即m24+ma+a2>mx-x2+ma+a2.

所以a2m24+ma+a2

即:用一定量的清水清洗衣服,将清水分两次平均使用比两次不平均使用效果要好.

当然用一定量的清水清洗衣服,将清水分的次数越多并平均使用,清洗效果越好(有兴趣的同学不妨仍以20斤清水为例进行验证).

看来,洗衣服中还真大有学问呢!这正如我国著名数学家华罗庚教授说过的一句话:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学.”

可谓是:生活处处皆数学,生活处处皆学问.

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