孙耀东,徐　宝，赵志文

(吉林师范大学数学学院,中国 四平　136000)



时间序列非参数回归模型的方差变点检验

孙耀东*,徐宝，赵志文

(吉林师范大学数学学院,中国 四平136000)

摘要研究时间序列非参数回归模型的方差变点检验.通过估计模型中的回归函数得到残差序列，利用残差序列构造Ratio检验统计量，并讨论检验统计量的极限性质,通过数值模拟验证检验方法的有效性.

关键词Ratio检验;非参数回归模型;方差变点

Test for Change Point Detection in Nonparametric Regression Model for Time Series

SUNYao-dong*,XUBao,ZHAOZhi-wen

(College of Mathematics, Jilin Normal University, Siping 136000, China)

AbstractThe detection problem of change point in nonparametric regression model for time series is studied. Residual sequence is obtained when the regression function is estimated and the ratio test statistics is established based on the residual sequence. Asymptotic properties of the test statistics are derived. The performance of the method is illustrated by simulation studies.

Key wordsRatio test; nonparametric regression model; variance change point

考虑如下非参数回归模型

yi=f(ui)+xi，i=1,2,…,n,

(1)

其中yi是实际观测的数据，f(·)是回归函数，ui=i/n是固定设计点，xi满足如下AR(p)模型

(2)

对模型(2)性质的讨论依赖数据{xi}，然而在很多实际问题中{xi}常常观测不到，真正的观测数据为{yi}，目前很多学者应用非参数方法对yi中包含的未知趋势项f(·)进行估计[1-4]，再通过剔除趋势项得到xi的估计值进而讨论模型(2)的性质.本文研究模型(1)中{xi}的方差变点检验问题，如下:

H1：H0不成立.

由于在经济领域中方差常常被用来度量风险，方差变点问题变得越来越重要.Inclan 和Tiao(1994)[5]应用CUSUM检验方法检验了独立观测样本的多变点问题，Gombay(1996)[6]等人研究了独立同分布样本的方差变点检验和估计问题，赵文芝、夏志明和贺兴时(2012)[7]研究了随机设计下非参数回归模型的方差变点Ratio检验.上述文献都是在独立样本的情形下进行讨论的.对于样本非独立情形，Kim、Cho和Lee(2000)[8]应用CUSUM检验方法研究了GARCH(1,1)模型的参数变点问题，Lee和Park(2001)[9]研究了平稳过程的方差变点检验，Lee和Na(2003)[10]应用CUSUM检验方法研究了强混合误差下的非参数回归模型方差变点问题.本文运用Lajos等[11]提出的Ratio检验方法讨论模型(1)的方差变点检验问题，与文献[10]的CUSUM检验方法相比，Ratio检验方法不需要估计模型尺度参数，计算更简便.

1主要结果

对趋势函数f(·)，取估计量为

(3)

(4)

其中0<δ<1/2,并记W(t),0≤t<∞是维纳过程，定义如下随机过程:

为得到Tn的极限性质，需要以下假设:

(C3)f(·)是Lipschitz连续的，即存在K1>0，对0≤x,y≤1，使得

|f(x)-f(y)|

首先考虑J1，

(5)

接下来考虑J2，

定理2设条件(C1)~(C5)成立，在H0为真时，

从而对0<δ<1/2，由定理1有

故由连续映射原理定理得证.

2数值模拟

考虑模型

yi=f(ui)+xi，

xi=φxi-1+ei，ui=i/n，i=1，2，…，n，

H0:σ2=1，对所有的i=1，2，…，n,

H1：σ2在t0=[nτ0]之前为1，之后为α2,

其中α2取值为2,4,9,τ0取值0.5，φ取值0，0.3,0.5,0.8，样本容量n=200,300,500.实验重复500次，在0.05的显著性水平下计算拒绝H0的频率.

表1　检验统计量Tn的经验势函数值

模拟结果可以看出，本文的Ratio检验是一致的，样本容量n越大，检验效果越好，并且当n足够大时，检验的势函数值趋近于1. 变点后的方差α2越大，检验效果越好.另外，检验效果与自回归系数φ有关，随着φ增大接近1，模型(2)趋近非平稳，检验效果相对较差.

3总结

在实际问题中模型中某个或某些量有时会突然发生变化，这种突然变化之点就是变点，这种突然变化往往反映了事物的某种质的变化，它在经济领域很常见且十分重要，常用的变点检验方法是CUSUM检验，由于CUSUM检验需要对模型尺度参数进行估计，而当数据不独立时，该估计很难获得.本文应用不需要估计尺度参数的Ratio检验方法研究模型(1)的方差变点检验问题，讨论了Ratio检验统计量的极限性质，通过数值模拟验证检验方法的有效性.

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(编辑HWJ)

中图分类号O212.1

文献标识码A

文章编号1000-2537(2016)01-0076-04

*通讯作者,E-mail：jerrysun1982@sina.com

基金项目：吉林省教育厅“十一五”科学技术研究资助项目(2010350)，吉林省科技发展计划项目青年基金资助项目(批准号:201201082)

收稿日期：2014-06-27

DOI:10.7612/j.issn.1000-2537.2016.01.013