向妮,吴燕,石菊花

(湖北大学数学与统计学学院,应用数学湖北省重点实验室,湖北 武汉 430062)



一类Monge-Ampère方程Neumann问题的梯度估计

向妮,吴燕,石菊花

(湖北大学数学与统计学学院,应用数学湖北省重点实验室,湖北 武汉 430062)

摘要：将文献[1]中的方法运用到一类Monge-Ampère方程det[D2u-σ(x,u)]=f(x,u,Du)的Neumann边值问题中,分别得到梯度内估计,近边梯度估计以及边界梯度估计,从而得到退化椭圆解的全局梯度估计.

关键词：Monge-Ampère方程;Neumann边值条件;退化椭圆解的梯度估计

0引言

我们研究一类Monge-Ampère方程:

det[D2u-σ(x,u)]=f(x,u,Du),在Ω内

(0.1)

满足如下Neumann边值条件

Dγu=φ(x,u),在∂Ω上

(0.2)

在文献[2]中,Lions等研究了如下Monge-Ampère方程

detD2u=f(x,u,Du),在Ω内

(0.3)

在文献[4]中,李松鹰研究了复Monge-Ampère方程的多重下调和解的适定性问题:

(0.4)

满足Neumann边值条件:Dvu=φ(z,u),在∂Ω上

(0.5)

其中σ:Ω×R→H是C上所有n×nHermitian矩阵的集合.当fu和fpl满足如下结构性条件时:

fu≥0,在∂Ω上，

其中g=logf和P=(p1,p2,…,pn),通过构造闸函数将整体约化到边界,在边界上分方向讨论了解的梯度估计与二阶导数估计.

下面,我们给出这篇文章的主要结论:

(0.6)

本文中由以下几部分构成:第一部分,我们介绍了椭圆解的定义,后面证明所需的记号以及梯度内估计;第二部分,我们得到整体梯度估计,并给出定理的证明.

1预备知识

这一章,我们将给出基本的记号,以及后面证明所需的定义和定理.

设Ω是Rn中有界区域,n≥2,∂Ω∈C3,γ是∂Ω上的单位内法向量.令

d(x)=dist(x,∂Ω)

(1.1)

和

Ωμ={x∈Ω:d(x)<μ}

(1.2)

|Dγ|+|D2γ|≤C(n,Ω),在Ωμ1内

(1.3)

(1.4)

引入记号:

cij=δij-γiγj,在Ωμ1内

(1.5)

(1.6)

下面,我们给出退化椭圆解的定义.

定义1.1我们称解u∈C2(Ω)是方程(0.1)式的退化椭圆解,若增广的Hessian矩阵是半正定的,即D2u-σ(x,u)≥0.

本文中,我们不能将Chou和Wang在文献[5]中的梯度内估计直接应用于这……